Enunciado

Determine todas as funções possíveis com as derivadas dadas: a) y ' =   s e n ( 2 t )

b) y ' =   c o s ( t 2 )

c) y ' =   s e n 2 t + c o s ( t 2 )

Passo 1

Desejamos encontrar o conjunto de todas as funções cuja derivada seja s e n 2 t , cos ⁡ t 2 ou a soma das duas funções ( a depender da alternativa). Dessa forma, alguns conceitos devem estar claros na nossa mente:

  • O primeiro deles é a regra da cadeia que diz que dada uma função composta f ( g ( t ) ) se quisermos deriva-la vamos precisar fazer → g ' t * f ' g t ;
  • Utilizaremos o corolário que vem como consequência do teorema do valor médio que diz que se encontrarmos uma função f t tal que g ' t = f ' ( t ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que g t = f t + C ;
  • Por fim, utilizaremos o fato da derivada da soma ser a soma das derivadas;

Passo 2

(Letra A)

Tomemos uma função g ( t )   =   - c o s 2 t 2 podemos verificar que a derivada dessa função é igual a derivada y ' = f ' ( t ) , mas essa função não surgiu do nada, para que ela aparecesse o seguinte raciocínio foi usado: primeiramente pensemos em uma função cuja derivada seja s e n t , essa função é - c o s ( t ) tendo em vista que a derivada de cos ⁡ t =   - s e n ( t ) . Agora, pensando na função s e n 2 t o natural seria pensar que a função de origem é - c o s ( 2 t ) , porém, pela regra da cadeia sabemos que isso não é verdade pois a derivada de - cos ⁡ 2 t é   2 s e n ( 2 t ) daí a origem do 2 dividindo todo mundo na nossa g t .

Passo 3

Aplicando o nosso corolário, temos o seguinte:

f t = g t + C

f t =   - cos ⁡ 2 t 2 + C

Devemos nos recordar, agora, que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa f ( x ) obtemos uma função diferente, logo, a função que obtemos a partir desse resultado é a mais geral e capaz de gerar todas as funções cuja derivada é s e n ( 2 t ) .

Passo 4

(Letra B)

Tomemos uma função g ( t )   =   2 s e n ( t 2 ) podemos verificar que a derivada dessa função é igual a derivada y ' = f ' ( t ) , mas essa função não surgiu do nada, para que ela aparecesse o seguinte raciocínio foi usado: primeiramente pensemos em uma função cuja derivada seja c o s t , essa função é s e n ( t ) tendo em vista que a derivada de sen ⁡ t = c o s ( t ) . Agora, pensando na função c o s t 2 o natural seria pensar que a função de origem é s e n ( t 2 ) , porém, pela regra da cadeia sabemos que isso não é verdade pois a derivada de s e n t 2 é   c o s t 2 2 daí a origem do 2 multiplicando todo mundo na nossa g t .

Passo 5

Aplicando o nosso corolário, temos o seguinte:

f t = g t + C

f t =   2 s e n ( t 2 ) + C

Devemos nos recordar, agora, que constantes tem derivada igual a zero e que ao acrescentarmos uma constante diferente a nossa f ( x ) obtemos uma função diferente, logo, a função que obtemos a partir desse resultado é a mais geral e capaz de gerar todas as funções cuja derivada é c o s ( t 2 ) .

Passo 6

(Letra C)

Utilizando os dados obtidos nas letras a e b, utilizaremos a propriedade das derivadas que diz que a derivada da soma é a soma das derivadas , como a função da letra C é apenas a soma das derivadas das alternativas anteriores, sei resultado é a soma das outras duas alternativas também.

Resposta

  1. f t =   - cos ⁡ 2 t 2 + C
  2. f t =   2 s e n ( t 2 ) + C
  3. f t =   - cos ⁡ 2 t 2 +     2 s e n ( t 2 ) + C  
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