Enunciado

No exercício a seguir, ache a equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar dada.

r = 4 c o s ( 3 θ )

Passo 1

Legal, temos que transformar essa nossa amiga aí em uma equação cartesiana (do tipo mais comum com x e y). Primeira coisa que você tem que fazer é aquela nossa coisa que já tá batida e você deve ter na ponta da língua! As relações de r com x e y.

x = r c o s ( θ )

y = r s i n ( θ )

r 2 = x 2 + y 2

Passo 2

SIMBORA PRAS CONTINHAS! Então galera, essa questão precisa de todo nosso amor, carinho e atenção, tudo pra combinar com a essência dessa questão. Não entendeu? Aqui estamos tratando de uma ROSA POLAR! Sim, e vamos tratar essa flor com carinho e amor para conseguir resolver ela.

Tá ai o formato da nossa flor, linda, não?

Essas rosas polares tem uma regra pra serem seguidas:

r θ = a c o s ⁡ ( k θ )

No qual a significa o tamanho de uma pétala no eixo x e k obedece uma relação em que:

k = n d

Seguindo essa “matriz” floral

Incrível né? Mas vamo deixar de enrolação e partir pra conversão dessa equação polar em cartesiana!

Passo 3

Sabendo que essa rosácea segue a lei básica das leminiscatas de Bernoulli:

r = a c o s k θ → x 2 + y 2 2 = a ( x k - d y k d x )

Logo,

r = 4 c o s 3 θ →   x 2 + y 2 2 = ( 4 x 3 - 12 x y 2 )

Resposta

x 2 + y 2 2 = ( 4 x 3 - 12 x y 2 )

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