Enunciado

No exercício a seguir, ache a equação da hipérbole com as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.

Focos em (-5,1) e (1,1) e um vértice em (-4,1)

Passo 1

É importante nessa questão, a gente fazer alguns esboços durante as resoluções, vai nos dá um bom norte sobre as equações! A primeiro momento, a gente percebe que os focos estão no mesmo eixo (eixo x), portanto a hipérbole tem um formato parecido com esse:

F 1 = - 5 , 1   e   F 2 = ( 1 , 1 )

A questão também nos dá que existe um vértice em (-4,1), que fica no lado esquerdo da nossa hipérbole. E isso é absolutamente INCRIVÉL!! Sabe porquê? Porque a gente vai saber a distancia do foco até o vértice!

d   F 1 → A 1 =   1

Se essa é a distância de um foco para um vértice de um lado, essa mesma distância vale para o outro foco:

d   F 2 → A 2 =   1

Logo,

A 2 = ( 0 , 1 )

Com isso obtemos a distância entre os vértices com uma simples subtração, que é igual ao famoso 2a.

A 1 → A 2 = 4

Legal, temos que: 2 a = 4 a = 2

Passo 2

Olhe só!! Temos o nosso primeiro valorzinho importante na equação, que é o a. E apesar de não ter citado, temos ainda o valor de c, que corresponde a metade da distancia focal.

F 1 → F 2 = 6

Portanto:

2 c = 6

c = 3

EEEEITA! Estamos quase lá! Está falando somente um valorzinho para irmos para o passo final: o valor de b. Para acha-lo, vamos para essa equação que está relacionada com a hipérbole:

c 2 = a 2 + b 2

3 2 = 2 2 + b 2

b 2 = 9 - 4 b = 5

Ah gente agora é so partir pro abraço né? Tá muuuito fácil!

Passo 3

Temos os valores de a,b e c!! Melhor que isso só um 10 na próxima prova (que você vai tirar achando os valores de a,b e c kkkk. Vamos ao que importa: a equação canônica da hipérbole para o nosso caso (focos pararelos ao eixo x e fora da origem)

x - x c 2 a 2 - y - y c 2 b 2 = 1

Em que Xc e Yc correspondem respectivamente as coordenadas x e y do centro da hibérbole. Pelas informações que a gente já tem, sabemos que o nosso centro fica na posição (-2,1), isso porquê o centro fica no meio dos vértices, e com as nossas coordenadas é fácil de enxergar isso. Portanto nosso Xc = -2 e nosso Yc = 1. Vamos montar a equação e nos livrar dessa questão? SIMBORA!

Organizando os dados: a = 2 , b = 5 , Xc = -2, Yc = 1.

Logo, a nossa equação é:

x + 2 2 2 2 - y - 1 2 5 = 1

Fazendo o esboço, fica:

Resposta

x + 2 2 2 2 - y - 1 2 5 = 1

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