Enunciado

Complete os quadrados para identificar as seções cônicas nos Exercícios 69-76. Encontre seus focos, vértices, centros e assíntotas (conforme apropriado). Se a curva for uma parábola, encontre também sua diretriz.

9 x 2 + 16 y 2 + 54 x - 64 y = - 1

Passo 1

Olá galerinha, espero que estejam bem e ansiosos para resolver este exercício comigo! Vamos lá.

As seções cônicas resultam da intersecção de um cone plano, como mostrado na Figura:

Equações de forma padrão para elipses centradas na origem:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1                                       ( a > b )

  • Distância entre o centro e foco: c = a 2 - b 2
  • Focos: ± c ,   0
  • Vértices: ± a ,   0
  • Uma equação da parábola com foco 0 ,   p e diretriz y = - p é:

    x 2 = 4 p y

    Se considerarmos que a = 1 / ( 4 p ) , então a equação torna-se:

    y = a x 2

    • Se   p > 0 concavidade para baixo;
    • Se   p < 0 concavidade para cima.

    Equações de forma padrão para hipérbole centradas na origem:

    x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1

  • Distância entre o centro e foco: c = a 2 - b 2
  • Focos: ± c ,   0
  • Vértices: ± a ,   0
  • Assíntotas: x 2 a 2 - y 2 b 2 = 0 ou y = ± b a x
  • As equações cônicas descritas anteriormente têm todas focos no eixo x e, centro ou vértice em 0 ,   0 . Quando temos um centro genérico em h ,   k e focos na reta y = k são:

  • Elipse:
  • x - h 2 a 2 + y - k 2 b 2 = 1                                       c o m   a 2 = b 2 + c 2

  • Parábola:
  • y - k 2 = 4 p x - h

  • Hipérbole:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1                                       c o m   b 2 = c 2 - a 2

Passo 2

Sabendo disso, vamos para o nosso exercício, onde temos a seguinte equação:

9 x 2 + 16 y 2 + 54 x - 64 y = - 1

Primeiramente iremos agrupar os termos em x e os termos em y :

9 ( x 2 + 6 x ) + 16 ( y 2 - 4 y ) = - 1

Completando o quadrado:

9 x 2 + 6 x + 9 + 16 y 2 - 4 y + 4 = - 1 + 81 + 64

9 x + 3 2 + 16 y - 2 2 = 144

x + 3 2 4 2 + y - 2 2 3 2 = 1

Vemos que se trata de uma elipse com a = 4 , b = 2 e:

c 2 = 16 - 9 = 7

c = 7

Passo 3

Podemos perceber que os valores de x e y estão deslocados, logo o centro será:

x + 3 = 0 → x = - 3 y - 2 = 0 → y = 2      

Sendo assim C - 3 ,   2 .

Para o vértice temos o seguinte:

V - 3 ± 4 ,   2

Logo:

V - 7 ,   2 V 1 ,   2      

E por fim, temos o foco:

F - 3 ± 7 ,   2

Consegui te ajudar? Espero que sim. Tchau pessoal.

Resposta

Elipse: C - 3 ,   2 , F - 3 ± 7 ,   2 , V - 7 ,   2 e F - 7 ,   2 .

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