Enunciado

No exercício a seguir, o gráfico da equação é uma elipse ou uma hipérbole. Ache o centro, vértices e focos da cônica. Se o gráfico for uma elipse, ache também as extremidades do eixo menor. Se o gráfico for uma hipérbole, ache também as equações das assíntotas. Faça um esboço da curva e mostre os focos. Se a curva for uma hipérbole, trace também as assíntotas.

3 x 2 - 2 y 2 + 6 x - 8 y + 11 = 0

Passo 1

Bom, primeiro que a gente não sabe se isso é uma hipérbole ou uma elipse. Então vamo lá tentar descobrir? SIMBORA!

Para fazer tal coisa, a gente deve primeiro pegar essa equação e deixar ela na forma reduzida, pra gente trabalhar com a parte fácil do negócio! Então, vamos ajeitar isso daí.

3 x 2 - 2 y 2 + 6 x - 8 y + 11 = 0

3 x 2 + 6 x - 2 y 2 - 8 y + 11 = 0

3 ( x 2 + 2 x ) - 2 ( y 2 + 4 y ) + 11 = 0

Bem, chegando aqui a gente agora vai aplicar a técnica de completar o quadrado. A gente observa que 3 ( x 2 + 2 x )   e - 2 ( y 2 + 4 y ) se parecem com dois termos elevados ao quadrado, faltando só uma parte. Então a gente pode reescrever eles de uma forma mais simples, subtraindo o que está faltando. Belezinha? Então vamo continuar:

3 ( x 2 + 2 x ) - 2 ( y 2 + 4 y ) + 11 = 0

3 x + 1 2 - 3 - 2 y + 2 2 + 8 + 11 = 0

3 x + 1 2 - 2 y + 2 2 + 5 + 11 = 0

3 x + 1 2 - 2 y + 2 2 = - 16

y + 2 2 8 - x + 1 2 3 / 16 = 1

AEEEE!! Conseguimos chegar na nossa tão sonhada EQUAÇÃO REDUZIDA! E a gente já pode dizer que isso é uma hipérbole, pois entre os termos de “x” e “y”, há uma subtração.

Outro ponto a se observar aqui, é que essa hipérbole corresponde a um caso de translação, ou seja, ela não está centrada na origem. Mas calma, isso é facilmente corrigido.

Passo 2

Então já que chegamos na nossa hipérbole, vamos procurar o que a gente quer dela!

y + 2 2 8 - x + 1 2 3 / 16 = 1

Antes de mais nada, devemos lembrar que nessa equação, o “x” e o “y” da equação não estão sozinhos (estão sendo somados/subtraídos de algum valor), logo, a nossa hipérbole não está centrada na origem. Então o primeiro passo é transformar as nossas coordenadas xy em coordenadas x’y. E é bem fácil, relaxa 😊

x ' = x + 1

y ' = y + 2

Sim, está feito. E não, não é zoeira kkkkkk. Já que a gente considerou agora (depois da transformação) que o centro está na origem, vamos definir o que é cada coisa aqui.

y + 2 2 8 - x + 1 2 3 / 16 = 1

Logo:

a 2 = 3 / 16

a = 1 ( j u r a ? )

E também:

b 2 = 25

b = 5

E da fórmula:

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 25 + 1

c 2 = 26

c =   26

Ja temos o nescessário para acharmos os Focos e os Vértices da nossa hipérbole. Nos vértices e nos focos, a gente vai considerar A’, B’ e F’ (já que estamos nas coordenadas x’y).

A ' 1 = - a , 0 = ( - 1,0 )

A ' 2 = a , 0 = ( 1,0 )

F ' 1 = c , 0 = ( 26 , 0 )

F ' 2 = - c , 0 = ( - 26 , 0 )

Então agora vamos atrás das assíntotas, e relaxem, é mamão com açúcar (bebam água e comam frutas, sem açúcar de preferência kkkkk). Elas obedecem a seguinte regra (para casos em que ela está com os focos no eixo x):

y = ± b a x

Facinho né galera? Então vambora!

y = ± 5 1 x

Passo 3

Ufa, tamo quase terminando!! Agora pra matar a questão de vez, a gente vai voltar ao sistemas de coordenadas xy. Pra isso, vamos fazer a seguinte:

Lembra que a gente antes fez essas transformações?

x ' = x + 1

y ' = y - 3

Agora vamos desfazer, pra termos a resposta do jeito que deve ser!! Para fazer isso, vamos pegar os pares ordenados de cada elemento que a gente achou lá em cima, e substituir pelas equações... Não entendeu? Relaxa! Vamos para a prática:

Temos que:

x ' = x + 1

y ' = y - 3

Substituindo em A’, para o x:

A ' 1 = ( - 1,0 )

- 1 = x + 1

x = - 2

E para o y:

0 = y - 3

y = 3

Logo:

A ' 1 = ( - 1 , 0 )   A 1 = ( - 2 , 3 )

Entenderam? Facinho facinho. Agora vamos para o resto dos vértices e focos, usando a mesma regra 😊

A ' 1 = ( - 1,0 )   A 1 = ( - 2,3 )

A ' 2 = ( 1,0 )   A 2 = ( 0,3 )

Agora para o F:

F ' 1 = ( 26 , 0 )   F 1 = ( - 1 - 26 , 3 )

F ' 2 = ( - 26 , 0 )   F 2 = ( - 1 + 26 , 3 )

E agora pra matar a questão, vamos para o esboço:

Resposta

  A 1 = ( - 2,3 )

  A 2 = ( 0,3 )

  F 1 = ( - 1 - 26 , 3 )

  F 2 = ( - 1 + 26 , 3 )

Assíntota: y = ± 5 1 x

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