Enunciado

Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação

55 )   x ² y - 2 x 2 - y - 2 = 0

Passo 1

Vamos escrever isso como y x antes de mais nada, belezinha? Saca só:

x ² y - 2 x 2 - y - 2 = 0

y x 2 - 1 - 2 x 2 - 2 = 0

y x 2 - 1 = 2 x 2 + 2

y x = 2 x 2 + 2 x 2 - 1

Passo 2

Bora achar as assíntotas horizontais. Precisamos pra isso fazer os limites pros infinito, beleza?

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 2 + 2 x 2 x 2 1 - 1 x 2 = lim x → ± ∞ ⁡ 2 + 2 x 2 1 - 1 x 2

Nos dois casos teremos

lim x → ± ∞ ⁡ 2 + 2 x 2 1 - 1 x 2 = 2 + 0 1 - 0 = 2

Limites deram números? Então beleza, temos assíntotas horizontais!

Passo 3

Pras verticais, fazemos os limites pro ponto que “dá problema”. No caso, limites laterais pra x = - 1 e x = + 1 , os dois pontos que zeram o denominador:

lim x → 1 - ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 - = - ∞

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 + = + ∞

E pro outro ponto:

lim x → - 1 - ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 + = + ∞

lim x → - 1 + ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 - = - ∞

Se os limites explodiram então temos duas assíntotas verticais!

Passo 4

Juntando os resultados dos limites, esboçamos:

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 2

lim x → 1 - ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 - = - ∞

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 + = + ∞

lim x → - 1 - ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 + = + ∞

lim x → - 1 + ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 - = - ∞

Resposta

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 2

lim x → 1 - ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 - = - ∞

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 + = + ∞

lim x → - 1 - ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 + = + ∞

lim x → - 1 + ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 - = - ∞

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