Enunciado

No Exercício ∫ s e n 2 2 ϴ   . c o s 3 2 ϴ   d ϴ , use fórmulas de redução para calcular as integrais.

Passo 1

O enuciado nos da uma integral de uma função trigonométrica, e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais.

Passo 2

Vamos usar a fórmula abaixo para reduzir a integral:

∫ s e n n a x   . c o s m a x   d x   = s e n n + 1   a x . c o s m - 1   a x a ( m + n ) + m - 1 m + n ∫ s e n   n a x . c o s   m - 2 a x   d x

Substituindo:

∫ s e n 2 2 ϴ   . c o s 3 2 ϴ   d ϴ = s e n 2 + 1   2 ϴ . c o s 3 - 1 2 ϴ 2 ( 2 + 3 )   + 3 - 1 3 + 2 ∫ s e n   2 2 ϴ . c o s   3 - 2 2 ϴ   d ϴ

= s e n 3   2 ϴ . c o s 2 2 ϴ 10   + 2 5 ∫ s e n   2 2 ϴ . c o s   2 ϴ   d ϴ

Passo 3

Para continuar desenvolvendo vamos usar outra fórmula que serve pra calcular ∫ s e n   2 2 ϴ . c o s   2 ϴ   d ϴ :

∫ s e n n a x   . c o s   a x   d x   =   s e n n + 1   a x ( n + 1 ) . a

= s e n 3   2 ϴ . c o s 2 2 ϴ 10   + 2 5   s e n 2 + 1   2 ϴ ( 2 + 1 ) . 2

= s e n 3   2 ϴ . c o s 2 2 ϴ 10   + 2 5   s e n 3   2 ϴ 3.2

= s e n 3   2 ϴ . c o s 2 2 ϴ 10   +   s e n 3   2 ϴ 15 + c

Obs: adicionamos “c” que é a constante de integração

Resposta

∫ s e n 2 2 ϴ   . c o s 3 2 ϴ   d ϴ = s e n 3   2 ϴ . c o s 2 2 ϴ 10   +   s e n 3   2 ϴ 15 + c

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