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Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. A região entre a curva y = sec 2 ⁡ x , - π 4 ≤ x ≤ π 4 , e o eixo x .

Passo 1

Por ser função quadrática somente teremos valores positivos, e por ser uma função trigonométrica simples podemos aplicar o argumento da simetria sem medo em x . Abaixo temos nossa região.

Pela simetria x - = 0

Passo 2

O comprimento da nossa linha vertical será de:

L = sec 2 ⁡ x - 0

A largura será d x , logo nossa área será de:

d A = ( sec 2 ⁡ x ) d x

Então massa será de:

d m = δ ( sec 2 ⁡ x ) d x

E o y médio:

y m = sec 2 ⁡ x + 0 2

Passo 3

Função y -   que temos que calcular.

y - = M x M

Calculando M :

M = ∫ - π 4 π 4 δ ( sec 2 ⁡ x ) d x

M = 2 δ t a n   x 0 π 4 = 2 δ

Agora calculando M x :

M x = 2 δ ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ x 2 ( sec 2 ⁡ x )   d x

M x = δ ∫ 0 π 4 sec 4 ⁡ x   d x

Fazendo sec 2 ⁡ x = 1 + tan 2 ⁡ x :

M x = δ ∫ 0 π 4 ( 1 + tan 2 ⁡ x ) ( sec 2 ⁡ x ) d x

M x = δ ∫ 0 π 4 ( sec 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x ) d x

Para fazer a integral de sec 2 ⁡ x   t g 2 x vamos substituir :

u = t g   x

Logo:

d u = sec 2 ⁡ x   d x

Logo nossa integral fica:

∫ u 2 d u = u 3 3

Que é:

t g 3 x 3

Aplicando a integral e os intervalos:

M x = δ [ tan ⁡ x ] 0 π 4 + δ t g 3 3 0 π 4 = δ 1 + 1 3 = 4 δ 3

Fazendo a conta de y - temos:

y - = 4 δ 3 2 δ = 2 3

Resposta

Centro de massa:

x - , y - = 0 , 2 3

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