Enunciado

Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. A região limitada pelo eixo x e pela curva y = cos ⁡ x , π 2 ≤ x ≤ π 2

Passo 1

Foi nos dado o intervalo e sabemos que nesse intervalo a função tem valor positivo, plotando a região temos:

Pela simetria da função conseguimos ver que x - = 0 .

Passo 2

O comprimento da linha vertical será:

L = cos ⁡ x - 0 = cos ⁡ x

A largura dessa linha será d x . Logo a área dessa linha será:

d A = ( cos ⁡ x ) d x

Então a massa será:

δ = m A

d m = δ ( cos ⁡ x ) d x

E o nosso y médio será:

y m = cos ⁡ x + 0 2

Passo 3

Precisamos calcular y - .

y - = M x M

Onde M = ∫ d m   e M x = ∫ y m   d m

Calculando M :

M = ∫ - π 2 π 2 δ ( cos ⁡ x ) d x = 2 δ ∫ 0 π 2 cos ⁡ x   d x = 2 δ [ sin ⁡ x ] 0 π 2 = 2 δ

Calculando agora M x :

M x = δ ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ x 2 ( cos ⁡ x ) d x = 2 δ 2 ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ x   d x  

Podemos substituir cos 2 ⁡ x por:

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1

cos 2 ⁡ x - s e n 2 x = cos ⁡ 2 x

Somando as duas equações temos:

2 cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x

cos 2 ⁡ x = 1 2 - cos ⁡ 2 x 2

Substituindo temos:

M x = δ ∫ 0 π 2 1 2 - cos ⁡ 2 x 2 d x = δ 2 ∫ 0 π 2 ( 1 - cos ⁡ 2 x ) d x

M x = δ 2 [ x - 1 2 sin ⁡ 2 x ] 0 π 2

M x = δ 2 π 2 - 0 = δ π 4

Fazendo a conta para y - .

y - = M x M = δ π 4 2 δ = π 8

Resposta

Centro de massa:

x - , y - = 0 , π 8

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