Nos Exercícios 1-18, determine dy/dx .

10. y = (senx + cosx) secx

Passo 1

d y d x = d d x sen ⁡ x + cos ⁡ x sec ⁡ x

Regra do produto:

d d x u ⋅ v = v d u d x + u d v d x

Onde u = sen ⁡ x + cos ⁡ x e v = sec ⁡ x :

d y d x = ( sec ⁡ x ) d d x sen ⁡ x + cos ⁡ x + ( sen ⁡ x + cos ⁡ x ) d d x sec ⁡ x

Passo 2

A derivada de ( sec ⁡ x ) é igual a ( sec ⁡ x tg ⁡ x ) :

d y d x = ( sec ⁡ x ) d d x sen ⁡ x + cos ⁡ x + ( sen ⁡ x + cos ⁡ x ) ( sec ⁡ x tg ⁡ x )

Agora é só usar a regra da soma para aquela derivada que tá faltando:

Derivada de ( sen ⁡ x ) é igual a ( cos ⁡ x )

E a derivada de ( cos ⁡ x ) é igual a ( - sin ⁡ x )

d y d x = ( sec ⁡ x ) ( cos ⁡ x - sen ⁡ x ) + ( sen ⁡ x + cos ⁡ x ) ( sec ⁡ x tg ⁡ x )

d y d x = ( sec ⁡ x cos ⁡ x - sec ⁡ x sen ⁡ x ) + ( sen ⁡ x sec ⁡ x tg ⁡ x + cos ⁡ x sec ⁡ x tg ⁡ x )

Passo 3

A gente pode simplificar essa equação usando a relação:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , portanto:

d y d x = 1 cos ⁡ x cos ⁡ x - 1 cos ⁡ x sen ⁡ x + sen ⁡ x 1 cos ⁡ x tg ⁡ x + cos ⁡ x 1 cos ⁡ x tg ⁡ x

d y d x = 1 - sen ⁡ x cos ⁡ x + sen ⁡ x cos ⁡ x tg ⁡ x + tg ⁡ x

A gente também sabe que sen ⁡ x cos ⁡ x = tg ⁡ x . Logo, a equação vai ficar assim:

d y d x = 1 - tg ⁡ x + tg 2 ⁡ x + tg ⁡ x

d y d x = tg 2 ⁡ x + 1

Resposta

d y d x = tg 2 ⁡ x + 1

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