Nos Exercícios 27-32, determine dp/dq .

32. p = (3q + tg(q)) / (q \* sec(q))

Passo 1

d p d q = d d q 3 q + tg ⁡ q q sec ⁡ q

Regra do quociente:

d d q u v = v d u d q - u d v d q v 2

Onde u = 3 q + tg ⁡ q e v = q sec ⁡ q . A função vai ficar:

d p d q = q sec ⁡ q d d q 3 q + tg ⁡ q - 3 q + tg ⁡ q d d q q sec ⁡ q q sec ⁡ q 2

Passo 2

Vamos calcular d d q 3 q + tg ⁡ q e d d q q sec ⁡ q separadamente para não ficar com uma equação gigante e ter menos chance de se confundir:

Podemos usar a regra do produto, para d d q q se c ⁡ q :

d d q u ⋅ v = v d u d q + u d v d q

Onde u = q e v = se c ⁡ q :

d d q q se c ⁡ q = se c ⁡ q d d q q + q d d q se c ⁡ q

Derivada de ( se c ⁡ q ) é ( s ec ⁡ q tg ⁡ q ) :

d d q q se c ⁡ q = se c ⁡ q 1 + q s ec ⁡ q tg ⁡ q

d d q 3 q + tg ⁡ q é mais fácil, só precismos usar a regra da soma:

d d q 3 q + tg ⁡ q = d d q 3 q + d d q tg ⁡ q

d d q 3 q + tg ⁡ q = 3 + sec ⁡ q tg ⁡ q

Passo 3

Agora podemos substituir, os valores encontrados no Passo 2, na equação novamente:

d p d q = q sec ⁡ q 3 + sec ⁡ q tg ⁡ q - 3 q + tg ⁡ q sec ⁡ q + q sec ⁡ q tg ⁡ q q sec ⁡ q 2

Vamos multiplicar os termos, para tentar simplificar um pouco a equação:

d p d q = 3 q sec ⁡ q + q sec 3 ⁡ q - 3 q sec ⁡ q - 3 q 2 sec ⁡ q tg ⁡ q - tg ⁡ q sec ⁡ q - q tg 2 ⁡ q sec ⁡ q q sec ⁡ q 2

d p d q = q sec 3 ⁡ q - 3 q 2 sec ⁡ q tg ⁡ q - tg ⁡ q sec ⁡ q - q tg 2 ⁡ q sec ⁡ q q sec ⁡ q 2

Resposta

d p d q = q sec 3 ⁡ q - 3 q 2 sec ⁡ q tg ⁡ q - tg ⁡ q sec ⁡ q - q tg 2 ⁡ q sec ⁡ q q sec ⁡ q 2

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