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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 4.Revisão - Ex. 19

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Nos Exercícios de 13 a 32, faça um esboço do gráfico da função f dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos de f ; os pontos de inflexão do gráfico de f ; os intervalos nos quais f é crescente e aqueles onde f é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; a inclinação das tangentes inflexionais, as assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem.

f x = 4 x 2 3 x 2 + 1

Passo 1

Vamos determinar as raízes reais da função f ( x ) :

f x = 0

x = 0

A função possui apenas uma raiz real.

Passo 2

Calcular f ' ( x ) :

f ' x = 8 x * 3 x 2 + 1 - 4 x 2 * 6 x 3 x 2 + 1 2 = 8 x 3 x 2 + 1 2

Calculando as raízes reais de f ' ( x ) :

f ' x = 8 x 3 x 2 + 1 2 = 0

8 x = 0

x = 0

Passo 3

Calculando f ' ' x ,   teremos:

f ' ' x = 8 * 3 x 2 + 1 2 - 8 x * 2 3 x 2 + 1 * 6 x 3 x 2 + 1 4 = 8 - 27 x 4 - 6 x 2 + 1 3 x 2 + 1 4

Calculando as raízes reais de f ' ' ( x ) :

f ' ' x = 8 - 27 x 4 - 6 x 2 + 1 3 x 2 + 1 4 = 0

- 27 x 4 - 6 x 2 + 1 = 0

x = 1 3 ; - 1 3

Passo 4

Vamos agora analisar cada um dos intervalos notáveis para estudar o sinal das funções f x , f ' ( x ) e f ' ' ( x ) para determinar pontos de extremo relativo, inflexão, onde a função é crescente e onde o gráfico é côncavo para cima.

Passo 5

Passo 6

Determinando as assíntotas da função:

- Horizontal:

lim x → ± ∞ ⁡ f x = ± k

lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = 4 3

Logo, a função f ( x ) tem uma assíntota horizontal em y = 4 3 .

- Vertical:

lim x → ± k ⁡ f x = ± ∞

Como não existe k real que satisfaça as condições indicadas, f ( x ) não tem assíntota vertical.

- Oblíqua:

lim x → ± ∞ ⁡ f x x = ± k

Como k = 0 , percebe-se que a função não possui assíntotas oblíquas.

Passo 7

Vamos determinar a inclinação m das tangentes inflexionais. Se x = t é um ponto de inflexão, a inclinação m é dada por:

m = f ' ( t )

Logo, as inclinações são:

m 1 = f ' 1 3 = 2

m 2 = f ' - 1 3 = - 2

Passo 8

Ao verificar os extremos relativos da função, tal com os pontos notáveis já destacados, percebemos que x = 0 é um mínimo absoluto ( f x é positiva em todo o seu domínio). Além disso, como a assíntota horizontal bem mostra, a função nunca atinge um valor maior ou igual a 4 3 .

Resposta

Gráfico:

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