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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 4.Revisão - Ex. 14

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Nos exercícios de 13 a 32, faça um esboço do gráfico da função f dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico; os intervalos nos quais f é crescente e aqueles onde f é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; a inclinação das tangentes inflexionais, assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem.

Passo 1

Seja f x = x 3 + 2 x 2 + x - 5 . Vejamos que:

x 3 + 2 x 2 + x - 5 = 0 → x 3 + 2 x 2 + x = 5 → x x + 1 2 = 5

Logo, como x + 1 2 ≥ 0 ,   x tem que ser positivo. Logo, se existe raiz, ela é positiva.

Como não temos um método fácil de obtenção de raízes em um polinômio do 3º grau, começaremos testando raízes inteiras. Dessa forma, como o polinômio só tem coeficientes inteiros, a raiz tem que ser divisora de a 3 a 0 ,   ou seja, x   divide - 5 1 = - 5 . Os possíveis valores de x serão x = 1,5 . Começando pelo mais simples, testaremos x = 1 .

f 1 = 1 3 + 2.1 2 + 1.1 - 5 = 1 + 2 + 1 - 5 → f 1 = - 1

f 5 = 5 3 + 2.5 2 + 1.5 - 5 = 125 + 50 + 5 - 5 → f 5 = 175

Logo, f x não tem raízes racionais. Dessa maneira, fazendo aproximações pelo teorema de Bolzano, encontraremos entre quais valores inteiros está a raiz. Pelo visto acima, como há troca de sinais, x está entre 1 e 5.

f 2 = 2 3 + 2.2 2 + 1.2 - 5 = 8 + 8 + 2 - 5 → f 2 = 13

Assim, temos que a raiz R do polinômio está entre 1 e 2.

Passo 2

Calculando f ' ( x ) , teremos:

f ' x = 3 x 2 + 2.2 x + 1 → f ' x = 3 x 2 + 4 x + 1

Pela Fórmula de Bhaskara, teremos:

Δ = b 2 - 4 a c → Δ = 4 2 - 4.3 . 1 = 16 - 12 → Δ = 4

Dessa forma, teremos que:

x = - b ± Δ 2 a = - 4 ± 4 2.3 → x 1 = - 1   e   x 2 = - 1 3

Dessa maneira, teremos que:

Passo 3

Calculando f ' ' ( x ) , teremos:

f ' ' x = 2.3 x + 4 → f ' ' x = 6 x + 4

Daí, temos que a raiz de f ' ' ( x ) é - 2 3 .

Além disso, temos que a tangente inflexional é f ' - 2 3 = - 1 3 .

Passo 4

Passo 5

A partir dos dados coletados, teremos o seguinte gráfico:

E os valores de máximo e mínimo relativos são, respectivamente, - 5   q u a n d o   x = - 1 e - 139 27   q u a n d o   x = - 1 3 .

Resposta

Os extremos relativos de f   s ã o : - 1 ,   - 5 m á x i m o   e   ( - 1 3 , - 139 27 ) ( m í n i m o ) .

O ponto de inflexão de f   é : ( - 2 3 , - 137 27 ) .

A função é crescente em x ∈ - ∞ , - 1 ∪ - 1 3 , + ∞ e decrescente em x ∈ ( - 1 , - 1 3 ) .

O gráfico é côncavo para baixo em x < - 2 3 e côncavo para cima em x > - 2 3 .

A inclinação da tangente inflexional é - 1 3 .

Gráfico:

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