Enunciado

23- Nos Exercícios 13-24, determine a derivada de y em função da variável adequada

y = x 2 + 1 sech ⁡ ( ln ⁡ x )

(Dica: antes de derivar a fórmula, expresse-a em termos de exponenciais e simplifique.)

Passo 1

Com a secante hiperbólica é o inverso do cosseno hiperbólico, logo essa função tem a seguinte cara:

sech ⁡ x = 2 e x + e - x

Agora a secante hiperbólica de ln ⁡ x é:

s e c h ⁡ ( ln ⁡ x ) = 2 e ln ⁡ x + e - ln ⁡ x = 2 e ln ⁡ x + e ln ⁡ x - 1

O que na real é:

s e c h ⁡ ( ln ⁡ x ) = 2 x + 1 x = 2 x 2 + 1 x = 2 x x 2 + 1

Passo 2

Substituindo esse valor na expressão de y nós vamos ter:

y = x 2 + 1 × 2 x x 2 + 1

Cortando:

y = 2 x

Passo 3

Fazendo a derivada de y em relação a x nós teremos:

d y d x = 2

Resposta

d y d x = 2

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