Enunciado

Nos exercícios de 17 a 30, ache a derivada da função dada:

23 )   f x = e x . cosh ⁡ x

Passo 1

Legal galera, essa função é tranquilo de derivar ! Precisamos lembrar de duas coisas. A primeira é qual teorema usar para esta função hiperbólica, e neste caso podemos usar o 8.4.3:

D x   cosh ⁡ u = s e n h   u . D x u

Mas não é bem isso que a gente precisa, porque nós temos a função hiperbólica sendo multiplicada por uma exponencial.

O que fazer neste caso? Quando temos a multiplicação de funções e queremos derivá-las basta usarmos a Regra do produto:

f ' ( x ) = D x   e x   . cosh ⁡ x + e x . D x ( cosh ⁡ x )

Sabemos que:

D x   e x = e x

Agora a função praticamente se deriva sozinha basta chamarmos:

u = x

Nós precisamos de D x u , então vamos derivar nosso u:

D x u = 1

E agora? É só substituir tudo na derivada:

f ' ( x ) = e x   . cosh ⁡ x + e x . senh ⁡ x

Isolando e x :

f ' ( x ) = e x . ( cosh ⁡ x + s e n h   x )

Lembrando da identidade (9):

cosh ⁡ x + s e n h   x = e x

f ' ( x ) = e 2 x

Resposta

f ' x = e 2 x

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Use as definições de funções hiperbólicas para achar o valor do limite. lim x → - ∞ ⁡ csc h ⁡ x
Encontre a derivada. f x = s e c hx( 1 + ln ⁡ sech ⁡ x )
Use as definições de funções hiperbólicas para achar o valor do limite. lim x → ∞ ⁡ coth ⁡ x
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