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Nos exercícios de 1 a 14, ache o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.

9 )   lim t → 2 ⁡ t 2 - 5 2 t 3 + 6

Passo 1

Neste exercício precisamos descobrir o limite para a função dada quando t está se aproximando de 2, demonstrando os teoremas necessários para alcançá-lo.

Sabendo que:

f z = t 2 - 5 2 t 3 + 6

O próximo passo é escolher o teorema a ser utilizado.

Passo 2

Podemos resolver o limite usando o Teorema de Limite 9:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x = L M

Sendo assim:

lim t → 2 ⁡ t 2 - 5 2 t 3 + 6 = l i m t → 2   t 2 - 5 l i m t → 2   2 t 3 + 6

Ainda podemos usar o Teorema de Limite 4:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x ∓ g ( x ) = L ∓ M

Sendo assim:

l i m t → 2   t 2 - 5 l i m t → 2   2 t 3 + 6 = l i m t → 2   t 2 - l i m t → 2   5 l i m t → 2   2 t 3 + l i m t → 2   6

Usando o Teorema de Limite 6:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = L   e     lim x → a ⁡ g ( x ) = M ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x . g ( x ) = L . M

l i m t → 2   t 2 - 5 l i m t → 2   2 t 3 + 6 = l i m t → 2   t 2 - l i m t → 2   5 l i m t → 2   2 . l i m t → 2 t 3 + l i m t → 2   6

Pelo Teorema 2:

l i m t → 2   5 = 5

l i m t → 2   2 = 2

l i m t → 2   6 = 6

Usando o Teorema 8:

Se  lim x → a ⁡ f ( x ) = a ,   e n t ã o   lim x → a ⁡ f x n = a n  

l i m t → 2   t = 2  

l i m t → 2   t ² = 2 ² = 4

l i m t → 2 t 3 = 2 ³ = 8

Então:

l i m t → 2   t 2 - l i m t → 2   5 l i m t → 2   2 . l i m t → 2 t 3 + l i m t → 2   6 = 4 - 5 2.8 + 6 = - 1 22

Resposta

lim t → 2 ⁡ t 2 - 5 2 t 3 + 6 = - 1 22

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