Enunciado

Nos Exercícios 7-14, utilize os gráficos para determinar um δ > 0 e que para todo x

0 < x - x 0 < δ   ⇒ f x - L < ϵ .

14.

Passo 1

Basicamente, nós precisamos achar um valor de δ que faça com que f x - L < ϵ , seja sempre valido.

O gráfico nos mostra que x 0 = 1 2 , se substituirmos esse valor na inequação, vamos obter:

x - 1 2 < δ

Vamos precisar uma regrinha das inequações agora, a expressão vai ficar:

- δ < x - 1 2 < δ

- δ + 1 2 < x < δ + 1 2

Então o x pode ficar entre o intervalo de - δ + 1 2 , δ + 1 2

Passo 2

Mas nós também sabemos, pelo gráfico, que o x está no intervalo: 1 2,01 , 1 1,99

Então podemos escrever que:

- δ + 1 2 = 1 2,01       e       δ + 1 2 = 1 1,99

Agora só precisamos resolver as equações para descobrirmos um valor valido para δ :

- δ + 1 2 = 1 2,01

δ = 1 2 - 1 2,01

δ ≈ 0 , 0024 8

Resolvendo a outra equação:

δ + 1 2 = 1 1,99

δ = 1 1,99 - 1 2

δ ≈ 0 , 00251

Precisamos pegar o menor valor do δ , pois podemos usar ele tanto para esquerda quanto para a direita.

Já se escolhermos o δ maior nesse caso, ele vai valer para o lado direito mas no lado esquerdo vai fazer com que f x - L > ϵ .

Portanto δ ≈ 0 , 00248

Resposta

δ ≈ 0,00248

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Encontre o limite. lim x → π 4 ⁡ 1 - tg ⁡ x sen ⁡ x - cos ⁡ x
Verifique que outra escolha possível de δ para mostrar que lim x → 3 ⁡ x 2 = 9 no exemplo $ é δ = min ⁡ 2 , ϵ 8 .
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Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite. lim x → 3 ⁡ ( x 2 + x - 4 ) = 8