Enunciado

Nos exercícios de 17 a 21, ache a área da região que está no interior da região limitada pelo gráfico da primeira equação e no exterior da região limitada pelo gráfico da segunda equação.

r = 2 a   s e n   θ r = a

Passo 1

O enunciado nos da a equação de um gráfico e pede para determinarmos a área interior à uma equação e exterior à outra. Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar qual é a região que ele quer saber a área, descobrir os pontos de intersecção das duas curvas bem como, quais são os limites de θ .

Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região interior à uma curva e exterior a outra dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 - g θ 2 d θ .

Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.

Passo 2

Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:

Como a curva é simétrica com relação ao semi-eixo π 2 , tomamos os limites de θ de 0 até π 2 , o que determina a área da região limitada pela curva à direita do eixo   π 2 . Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 2.

Passo 3

Sendo assim, a área é:

A = 1 2 . ∫ α β f θ 2 - g θ 2 d θ = 2 . 1 2 . ∫ π 6 π 2 2 a s e n θ 2 - a 2 d θ =

= ∫ π 6 π 2 4 a 2 s e n 2 θ - a 2 d θ = ∫ π 6 π 2 a 2 4 s e n 2 θ - 1 d θ = a 2 . ∫ π 6 π 2 4 . 1 2 1 - c o s 2 θ - 1 d θ

= a 2 . ∫ π 6 π 2 2 1 - c o s 2 θ - 1 d θ = a 2 . ∫ π 6 π 2 1 - 2 c o s 2 θ d θ = a 2 θ - s e n 2 θ π 6 π 2 =

a 2 π 2 - 0 - π 6 - 3 2 = a 2 π 3 + 3 2

Resposta

A = a 2 π 3 + 3 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No exercício a seguir, ache a equação polar do gráfico, considerando a equação cartesiana dada. y 4 = x 2( a 2 - y 2 )
No exercício a seguir, ache a equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar dada. r = at g 2 θ
No exercício a seguir, ache a equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar dada. r = 4 c o s ( 3 θ )
Faça um esboço do gráfico de: r θ = 3
Faça um esboço do gráfico de: 3 r = θ