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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 4.9 - Ex. 24

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Nos exercícios de 17 a 24, ache d y .

y = x 2 s e n 1 x - x c o s 1 x

Passo 1

Como em todas as questões dessa seção, devemos derivar a função para que possamos usar o teorema 4.9 . 3 e, por fim, calcular d y . Essa questão não é diferente. Vamos derivar y = f ( x ) .

Passo 2

Primeiramente, veja que ela é a soma de duas funções, digamos g x = x 2 s e n 1 x e h x = - x c o s 1 x .

Disso, temos que:

f ' x = g ' x + h ' x

Ou seja, precisamos calcular as derivadas de g ( x ) e h ( x ) .

Passo 3

Vamos calcular g ' ( x ) .

Antes de tudo, perceba que g ( x ) é composta pelo produto de duas outras funções:

x 2   e   s e n 1 x

Usando a regra do produto:

g '   ( x ) = d x 2 d x s e n 1 x + x 2 d s e n 1 x d x  

A derivada d x 2 d x é fácil, pois é polinomial:

d x 2 d x = 2 x

Veja que s e n 1 x é uma função composta. Logo, para derivá-la, devemos usar a regra da cadeia. Veja:

d s e n 1 x d x = d s e n 1 x d 1 x d x - 1 d x = cos ⁡ 1 x - 1 x - 2 = - 1 x 2 cos ⁡ 1 x  

Por fim:

g ' x = 2 x s e n 1 x + x 2 - 1 x 2 cos ⁡ 1 x = 2 x s e n 1 x - cos ⁡ 1 x

Passo 4

Vamos calcular h ' ( x ) .

Veja que h ( x ) também é o produto de duas funções:

- x   e cos ⁡ 1 x

Logo, vamos usar a regra do produto:

h ' x = d - x d x cos ⁡ 1 x - x d cos ⁡ 1 x d x = - cos ⁡ 1 x - x d cos ⁡ 1 x d x

Para derivar cos ⁡ 1 x , devemos usar a regra da cadeia, veja:

d cos ⁡ 1 x d x = d cos ⁡ 1 x d 1 x d x - 1 d x = - s e n 1 x - 1 x - 2 = x - 2 s e n 1 x

Logo:

h ' x = - cos ⁡ 1 x - x - 1   s e n 1 x

Passo 5

Por fim, temos que:

f ' x = g ' x + h ' x = 2 x s e n 1 x - cos ⁡ 1 x - cos ⁡ 1 x - x - 1 s e n 1 x

Ou seja:

f ' x = s e n 1 x 2 x - x - 1 - 2 cos ⁡ 1 x

Usando o teorema:

d y = s e n 1 x 2 x - x - 1 - 2 cos ⁡ 1 x d x

Resposta

d y = s e n 1 x 2 x - x - 1 - 2 cos ⁡ 1 x d x

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