Nos exercícios de 17 a 24, ache dy .

y = t \* g^2(x) \* sec^2(x)

Passo 1

Primeiramente, devemos simplificar essa expressão de modo que possamos trabalhar melhor. Lembre-se, da trigonometria:

sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2 x ⇒ t g 2 x = sec 2 ⁡ x - 1

Do que temos:

y = sec 2 ⁡ x - 1 sec 2 ⁡ x = sec 4 ⁡ x - sec 2 ⁡ x

Passo 2

Queremos usar o teorema 4.9 . 3 e, para isso, precisamos derivar y = f ( x ) .

Para simplificar nossas vidas, façamos sec ⁡ x = u ( x ) .

Observe que temos expressões do tipo u n ( x ) e precisamos derivá-las. Vamos então lançar mão da regra da cadeia, veja:

d u n x d x = d u n x d u x ∙ d u x d x

Mas veja que

d u n x d u x = d u n d u = n u n - 1

Precisamos agora derivar

u x = sec ⁡ x = 1 c o s x

Ou seja, usando a regra do quociente:

u ' x = 1 c o s x ' = 0 ∙ c o s x - 1 ∙ - s e n x cos 2 ⁡ x = s e n x cos 2 ⁡ x

Passo 3

Observe que na nossa função temos n = 4 e n = 2 :

f ' x = 4 u 3 x u ' x - 2 u x u ' x = 4 sec 3 ⁡ x s e n x cos 2 ⁡ x - 2 sec ⁡ x s e n x cos 2 ⁡ x = 2 sec 3 ⁡ x s e n x 2 sec 2 ⁡ x - 1

Passo 4

Usando o teorema 4.9 . 3 , temos:

d y = 2 sec 3 ⁡ x s e n x 2 sec 2 ⁡ x - 1 d x

Resposta

d y = 2 sec 3 ⁡ x s e n x 2 sec 2 ⁡ x - 1 d x

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