Enunciado

Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

23 )   f x = x - 2 1 5 + 3

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

f x = x - 2 1 5 + 3

f ' ( x ) = 1 5 . 1 . x - 2 - 4 5 = 1 5 . x - 2 - 4 5

f ' ' ( x ) = 1 5 . - 4 5 . 1 . x - 2 - 9 5 = - 4 25 x - 2 - 9 5

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 . Neste caso, a função f ' ' x nunca será igual a 0, mas não está definida no ponto x = 2 .

Passo 2

Segundo a Definição 4.5.4, determinado ponto c é de inflexão se passar por ele uma reta tangente e se a concavidade mudar de direção em valores maiores e menores que o ponto c.

A derivada primeira da função indica a inclinação da reta tangente àquele ponto. Sabendo que:

f ' ( x ) = lim x → c ⁡ f x - f ( c ) x - c

Lembrando que, para o limite bilateral existir os limites laterais direito e esquerdo devem ser iguais.

f ' x = lim x → 2 + ⁡ f x - f c x - c = + ∞

f ' x = lim x → 2 - ⁡ f x - f c x - c = + ∞

Ou seja, há uma reta tangente vertical que passa sobre o ponto x = 2 . Apesar da função f ' x não estar definida neste ponto.

Analogamente:

f ' ' 2   n ã o   e x i s t e

Analisando a mudança de direção da concavidade:

Sendo assim, há reta tangente que passa por esse ponto e também há mudança na concavidade, então   x = 2 é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Ponto de inflexão: x = 2 .

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