Enunciado

Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

1 7 )   f x = { x ² - 1 ,   s e   x < 2 7 - x 2 ,   s e   2 ≤ x  

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

f x = { x 2 - 1 ,     s e   x < 2 7 - x 2 ,     s e   2 ≤ x  

f ' x = { 2 x ,     s e   x < 2 - 2 x ,     s e   x > 2

f ' ' x = { 2 ,     s e   x < 2 - 2 ,     s e   x > 2

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por f ' ' x = 0 . Neste caso, f ' ' x nunca será igual a 0.

Passo 2

Segundo a Definição 4.5.4, determinado ponto c é de inflexão se passar por ele uma reta tangente e se a concavidade mudar de direção em valores maiores e menores que o ponto c.

A derivada primeira da função indica a inclinação da reta tangente àquele ponto. Sabendo que:

f ' ( x ) = lim x → c ⁡ f x - f ( c ) x - c

Lembrando que, para o limite bilateral existir os limites laterais direito e esquerdo devem ser iguais.

f ' x = lim x → 2 + ⁡ f x - f c x - c = - 4

f ' x = lim x → 2 - ⁡ f x - f c x - c = 4

Então:

f ' 2   n ã o   e x i s t e

Analogamente:

f ' ' 2   n ã o   e x i s t e

Analisando a mudança de direção da concavidade:

Sendo assim, apesar de haver mudança na concavidade não há reta tangente que passe por esse ponto, então   x = 2 não é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Não há pontos de inflexão.

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