Enunciado

Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

2 1 )   F x = { x 3 ,     s e   x < 0 x 4 ,     s e   0 ≤ x  

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

F x = { x 3 ,     s e   x < 0 x 4 ,     s e   0 ≤ x  

F ' x = { 3 x ² ,     s e   x < 0 4 x ³ ,     s e   x > 0

F ' ' x = { 6 x ,     s e   x < 0 12 x ² ,     s e   x > 0

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por F ' ' x = 0 .

6 x = 0 → x = 0

12 x ² = 0 → x = 0

Passo 2

Segundo a Definição 4.5.4, determinado ponto c é de inflexão se passar por ele uma reta tangente e se a concavidade mudar de direção em valores maiores e menores que o ponto c.

A derivada primeira da função indica a inclinação da reta tangente àquele ponto. Sabendo que:

F ' ( x ) = lim x → c ⁡ F x - F ( c ) x - c

Lembrando que, para o limite bilateral existir os limites laterais direito e esquerdo devem ser iguais.

F ' x = lim x → 0 + ⁡ F x - F c x - c = 0

F ' x = lim x → 0 - ⁡ F x - F c x - c = 0

Então:

F ' 0 = 0

Ou seja, há uma reta tangente que passa sobre o ponto x = 0 .

Analogamente:

F ' ' 0 = 0

Analisando a mudança de direção da concavidade:

Sendo assim, há reta tangente que passa por esse ponto e há mudança na concavidade, então   x = 0 é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Ponto de inflexão: x = 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 33 a 46, esboce parte do gráfico de uma função f contendo o ponto onde x = c , se as condições dadas estiverem satisfeitas. Suponha que f seja contínua em algum intervalo aberto cont
Nos Exercícios de 33 a 46, esboce parte do gráfico de uma função f contendo o ponto onde x = c , se as condições dadas estiverem satisfeitas. Suponha que f seja contínua em algum intervalo aberto cont
Nos Exercícios de 33 a 46, esboce parte do gráfico de uma função f contendo o ponto onde x = c , se as condições dadas estiverem satisfeitas. Suponha que f seja contínua em algum intervalo aberto cont
Nos Exercícios de 33 a 46, esboce parte do gráfico de uma função f contendo o ponto onde x = c , se as condições dadas estiverem satisfeitas. Suponha que f seja contínua em algum intervalo aberto cont
Desenhe um esboço do gráfico da equação x 2 3 + y 2 3 = 1 .( Sugestão: o gráfico não é aquele de uma função. Entretanto, a parte no primeiro quadrante é o gráfico de uma função. Obtenha essa porção e