Encontre a derivada da função dada:

f(x) = senh^(-1)(tg(x))

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de senh - 1 ⁡  

senh - 1 ⁡ x ' = 1 x 2 + 1

Vamos fazer

f x = g h x

Com

g x = senh - 1 ⁡ x

h x = tg ⁡ x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f ' x = g ' h x h ' x

Temos

g ' x = 1 x 2 + 1

Que é a derivada de senh - 1 ⁡  

Então

f ' x = 1 h x 2 + 1 h ' x

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h x

h x = tg ⁡ x → h ' x = sec 2 ⁡ x

Vamos ter

f ' x = 1 tg ⁡ x 2 + 1 . sec 2 ⁡ x

f ' x = sec 2 ⁡ x tg 2 ⁡ x + 1

Lembrando que

tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x

Vamos ter

f ' x = sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x

Vamos tirar aquela secante da raiz, mas precisamos lembrar que

x 2 = x

Então

sec 2 ⁡ x = sec ⁡ x

Além disso:

sec 2 ⁡ x = sec ⁡ x 2

Assim, vamos encontrar

f ' x = sec ⁡ x 2 sec ⁡ x = sec ⁡ x

Resposta

f ' x = sec ⁡ x

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