Enunciado

Nos Exercícios de 17 a 24, ache o ponto de inflexão do gráfico da função dada, se existir. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico.

2 2 )   G x = { x ² ,     s e   x ≤ 0 x 4 ,     s e   0 < x  

Passo 1

Para começar precisamos determinar os pontos de inflexão do gráfico, ou seja, o ponto onde a função muda a direção da concavidade. Para descobrir estes pontos o primeiro passo é descobrir a derivada segunda da nossa função:

G x = { x ² ,     s e   x ≤ 0 x 4 ,     s e   0 < x  

G ' x = { 2 x ,     s e   x < 0 4 x ³ ,     s e   x > 0

G ' ' x = { 2 ,     s e   x < 0 12 x ² ,     s e   x > 0

Uma vez descoberta a derivada segunda, os pontos de inflexão são caracterizados por G ' ' x = 0 .

12 x ² = 0 → x = 0

Passo 2

Segundo a Definição 4.5.4, determinado ponto c é de inflexão se passar por ele uma reta tangente e se a concavidade mudar de direção em valores maiores e menores que o ponto c.

A derivada primeira da função indica a inclinação da reta tangente àquele ponto. Sabendo que:

G ' ( x ) = lim x → c ⁡ G x - G ( c ) x - c

Lembrando que, para o limite bilateral existir os limites laterais direito e esquerdo devem ser iguais.

G ' x = lim x → 0 + ⁡ G x - G c x - c = 0

G ' x = lim x → 0 - ⁡ G x - G c x - c = 2

Então:

G ' 0   n ã o   e x i s t e .

Ou seja, não há uma reta tangente que passa sobre o ponto x = 0 .

Analogamente:

G ' ' 0   n ã o   e x i s t e

Analisando a mudança de direção da concavidade:

Sendo assim, não há reta tangente que passa por esse ponto e também não há mudança na concavidade, então   x = 0 não é um ponto de inflexão.

Desenhando o gráfico da função:

Resposta

Não há ponto de inflexão.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da
Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da
Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da
Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da
Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da