Enunciado

Encontre os pontos de inflexão do gráfico da função dada, se existirem. Determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde ele é côncavo para baixo. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente ao gráfico nos pontos de inflexão.

f x = x + 2 1 3

Passo 1

Para analisarmos a concavidade, temos que achar a segunda derivada.

A nossa função é:

f x = x + 2 1 3

Derivando, usando a regra da cadeia para derivar o termo dentro do parênteses também:

f ' x = 1 3 x + 2 - 2 3 x ' = 1 3 x + 2 - 2 3

Agora vamos para a segunda derivada, usando a regra da cadeia para derivar o termo dentro do parênteses também:

f ' ' x = 1 3 - 2 3 x + 2 - 5 3 x ' = - 2 9 x + 2 - 5 3

Para anaisar a concavidade, temos que olhar o sinal dessa segunda derivada.

Passo 2

f ' ' x = - 2 9 x + 2 - 5 3

Quando a segunda derivada for positiva, ela será côncava para cima.

Quando a segunda derivada for negativa, ela será côncava para baixo.

f ' ' x > 0 → c o n c a v a   p a r a   c i m a

f ' ' x < 0 → c o n c a v a   p a r a   b a i x o

O sinal todo depende daquele termo x + 2 , isso porque aquela potência mantêm o sinal da segunda derivada.

Ela vai ser positiva:

x + 2 > 0 → x > - 2

E ela vai ser negativa:

x + 2 < 0 → x < - 2

Então vamos ter:

f ' ' x > 0 ⟷ x > - 2

f ' ' x < 0 ⟷ x < - 2

Fazendo a classificação de concavidade:

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > - 2

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < - 2

Passo 3

Agora vamos analisar os pontos de inflexão.

Para termos ponto de inflexão, devemos ter mudança de concavidade da nossa função.

Isso acontece em x = - 2 , logo ele é ponto de inflexão.

Passo 4

Vamos achar a inclinação da reta tangente no ponto dfe inflexão e fazer o esboço do gráfico

f ' - 2 = 1 3 - 2 + 2 - 2 3 = 1 3 0 - 2 3

O expoente negativo vai ficar:

f ' - 2 = 1 0 2 3 = 1 0

Isso nos diz que essa inclinação seria , mas não existe reta com inclinação infinita.

Quando acontecer da derivada ser , vai no sdizer que a reta tangente é vertical.

Assim ela vai ter uma inclinação 0 , vamos ver o gráfico.

A função está em verde e a tangente em laranja

Resposta

c o n c a v a   p a r a   c i m a ⟷ x > - 2

c o n c a v a   p a r a   b a i x o ⟷ x < - 2

x = - 2 → p o n t o   d e   i n f l e x ã o

f ' - 2 → ∞

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