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Nos exercícios de 17 a 24, calcule a derivada indicada.

20. D t s e n 2 3 t c o s 2 t

Passo 1

Bom, nessa derivada vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia algumas vezes. Primeiro vamos aplicar para a função que está ‘mais de fora’, que será a potência quadrada, fazemos a derivada dela:

d d x x 2 = 2 x

Então substituímos o x pela função de dentro, e depois multiplicamos pela derivada dessa função, vai ficar assim:

2 s e n ( 3 t c o s 2 t ) d d t s e n 3 t c o s 2 t

Passo 2

Agora vamos resolver a nova derivada que apareceu usando a Regra da Cadeia de novo. Pegamos a função de fora primeiro e fazemos a derivada:

d d x s e n x = c o s x

Substituímos x pela função de dentro, e multiplicamos pela derivada dela:

c o s ( 3 t c o s 2 t ) d d t ( 3 t c o s 2 t )

Passo 3

Dessa vez a derivada que apareceu precisa da Regra do Produto para ser resolvida:

f x g x = f ' x g x + f x g ' ( x )

Então fica:

d d t 3 t c o s 2 t + 3 t d d t ( c o s 2 t )

A primeira derivada é simples:

d d t 3 t = 3

E a próxima vai precisar que a gente use a Regra da Cadeia duas vezes. Seguindo o mesmo raciocínio que usamos nos passos anteriores, primeiro a derivada da função de fora:

d d x x = 1 2 x

Substituímos x pela função de dentro e multiplicamos pela sua derivada:

1 2 c o s 2 t d d t c o s 2 t

Precisamos aplicar a Regra da Cadeia de novo nesse cosseno, mas nesse caso é mais simples e vamos fazer diretamente:

d d t c o s 2 t = - 2 s e n 2 t

Substituindo:

- s e n 2 t c o s 2 t

Passo 4

Agora a gente volta tudo substituindo cada resultado que conseguimos nas derivadas que estávamos precisando, a nossa Regra do Produto do Passo 3 era:

d d t 3 t c o s 2 t + 3 t d d t ( c o s 2 t )

E fica:

3 c o s 2 t + - 3 t s e n 2 t c o s 2 t

Mais uma vez substituiremos esse resultado lá na conta do Passo 2, que era:

c o s ( 3 t c o s 2 t ) d d t ( 3 t c o s 2 t )

E fica:

c o s 3 t c o s 2 t 3 c o s 2 t + - 3 t s e n 2 t c o s 2 t

E por último substituiremos isso no que estava faltando no Passo 1 que era:

2 s e n ( 3 t c o s 2 t ) d d t s e n 3 t c o s 2 t

E então fica:

2 s e n ( 3 t c o s 2 t ) c o s 3 t c o s 2 t 3 c o s 2 t - 3 t s e n 2 t c o s 2 t

6 s e n ( 3 t c o s 2 t ) c o s 3 t c o s 2 t c o s 2 t - t s e n 2 t c o s 2 t

Resposta

6 s e n ( 3 t c o s 2 t ) c o s 3 t c o s 2 t c o s 2 t - t s e n 2 t c o s 2 t

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