Enunciado

47 – 50 Encontre y ' e y ' ' .

47. y = cos ⁡ sen ⁡ 3 θ

Passo 1

Oiee galerinha

A função y = cos ⁡ sen ⁡ 3 θ é uma função composta, onde uma função é aplicada a outra função. Neste caso, temos a função trigonométrica sin ⁡ ( 3 θ ) como a função interna, e a função trigonométrica cos ⁡ ( x ) como a função externa.

A regra da cadeia é uma ferramenta fundamental do cálculo diferencial usada para diferenciar funções compostas.

Afirma que a derivada de uma função composta é o produto da derivada da função externa pela derivada da função interna.

Matematicamente, se y = f g x

d y d x = d f d g ⋅ d g d x

Passo 2

Ao resolver essa questão, aplicamos a regra da cadeia para encontrar a derivada da função composta y = cos ⁡ sin ⁡ 3 θ em relação a θ .

Isso envolve derivar a função externa cos ⁡ ( x ) mantendo a função interna s i n n θ constante, e então multiplicar pela derivada da função interna.

Para encontrar a segunda derivada, ou seja, y ' ' aplicamos novamente a regra da cadeia à primeira derivada obtida.

Isso nos permite calcular a taxa de variação da taxa de variação da função original em relação a θ ,   o que representa a concavidade da curva representada por y

Passo 3

Aplicando a derivada na função, temos:

y ' = d d θ cos ⁡ sen ⁡ 3 θ

Essa é uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia para conseguir resolver, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F θ = f g θ

Queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' θ = f ' g θ ⋅ g ' θ

Nesse caso, temos que a função de fora, a externa, é o cosseno:

f g θ = cos ⁡ g θ

Sua derivada é:

f ' g θ = - sin ⁡ g θ

Passo 4

Já a função de dentro, a interna, é

g θ = sen ⁡ 3 θ

Para derivar também precisa da regra da cadeia.

Então a derivada de fora vezes a derivada de dentro fica:

g ' θ = sen ⁡ 3 θ ' ⋅ 3 θ '

g ' θ = cos ⁡ 3 θ ⋅ 3

A primeira derivada dessa função fica:

y ' = - sen ⁡ g θ ⋅ cos ⁡ 3 θ ⋅ 3

Como g θ = sen ⁡ 3 θ

y ' = - 3 sen ⁡ sen ⁡ 3 θ ⋅ cos ⁡ 3 θ

Passo 5

Agora vamos derivar mais uma vez, para encontrarmos a segunda derivada:

y ' ' = d d θ - 3 sen ⁡ sen ⁡ 3 θ ⋅ cos ⁡ 3 θ

Vamos usar a regra do produto:

y ' ' = - 3 d d θ sen ⁡ sen ⁡ 3 θ ⋅ cos ⁡ 3 θ + d d θ cos ⁡ 3 θ ⋅ sen ⁡ sen ⁡ 3 θ

Passo 6

Precisamos encontrar o valor das derivadas que aparece na expressão, a primeira delas é:

d d θ sen ⁡ sen ⁡ 3 θ

Usando a regra da cadeia:

A função de fora, a externa, é o seno:

g h θ = sen ⁡ h θ

Sua derivada é:

g ' h θ = cos ⁡ h θ

E a função de dentro, a interna, também é o seno:

h θ = sin ⁡ 3 θ

Porém essa também é uma função composta, então precisamos usar a regra da cadeia mais uma vez para derivar esse termo:

Passo 7

Derivando h θ : derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro:

h ' θ = cos ⁡ 3 θ ⋅ 3

Então a primeira derivada que aparece na nossa expressão para y ' fica:

d d θ sen ⁡ sen ⁡ 3 θ = cos ⁡ h θ ⋅ cos ⁡ 3 θ ⋅ 3

Como h θ = sen ⁡ 3 θ :

d d θ sen ⁡ sen ⁡ 3 θ = cos ⁡ sen ⁡ 3 θ ⋅ 3 cos ⁡ 3 θ

Passo 8

A segunda derivada ali é mais simples de resolver, precisamo da regra da cadeia, mas é uma função mais simples. A derivada da função de fora é o seno:

cos ⁡ 3 θ ' = - sen ⁡ 3 θ

A derivada da função de dentro é 3 :

3 θ ' = 3

Então aquela derivada fica:

d d θ cos ⁡ 3 θ = - sen ⁡ 3 θ ⋅ 3

d d θ cos ⁡ 3 θ = - 3 sen ⁡ 3 θ

Passo 9

Voltando para a função principal, temos:

y ' ' = - 3 d d θ sen ⁡ sen ⁡ 3 θ ⋅ cos ⁡ 3 θ + d d θ cos ⁡ 3 θ ⋅ sen ⁡ sen ⁡ 3 θ

Sabemos que

d d θ sen ⁡ sen ⁡ 3 θ = cos ⁡ sen ⁡ 3 θ ⋅ 3 cos ⁡ 3 θ

e

d d θ cos ⁡ 3 θ = - 3 sen ⁡ 3 θ

Então nossa função fica:

y ' ' = - 3 cos ⁡ sen ⁡ 3 θ ⋅ 3 cos ⁡ 3 θ ⋅ cos ⁡ 3 θ + - 3 sen ⁡ 3 θ ⋅ sen ⁡ sen ⁡ 3 θ

Fazendo as multiplicações:

y ' ' = - 9 cos ⁡ sen ⁡ 3 θ ⋅ cos 2 ⁡ 3 θ + 9 sen ⁡ 3 θ ⋅ sen ⁡ sen ⁡ 3 θ

Resposta

y ' ' = - 9 cos ⁡ sen ⁡ 3 θ ⋅ cos 2 ⁡ 3 θ + 9 sen ⁡ 3 θ ⋅ sen ⁡ sen ⁡ 3 θ

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