Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 18, determine se a função é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.

13. G x = sec ⁡ x ,     x ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 2 π

Passo 1

Primeiro vamos entender o que é uma função biunívoca (ou injetora). Uma função dessa forma tem a característica de que cada componente do seu domínio só tem um correspondente em sua imagem. O diagrama a seguir demonstra essa característica.

Onde A é o domínio da função e B é a imagem dessa função, pode – se reparar que cada membro do domínio corresponde a um único membro da imagem.

Podemos entender x ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 2 π como o domínio da nossa função, onde ela só é definida nesse domínio.

Passo 2

Agora vamos avaliar a função que nos foi dada.

G x = sec ⁡ x ,     x ∈ 0 , π 2 ∪ π , 3 2 π

Para fazer isso, vamos usar o teorema 7.1.2 do capítulo 7, seção 2, que diz que se uma função for crescente ou decrescente em todo seu domínio ou intervalo, ela é biunívoca.

Para saber se a função é crescente ou decrescente vamos derivar a função e ver se ela é negativa no seu domínio ou positiva.

Passo 3

Vamos derivar a função.

G x = sec ⁡ x

G ' x = t g   x ⋅ sec ⁡ x

Passo 4

Agora, sabemos que:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

E a função cos ⁡ x é positiva no intervalo 0 < x < π 2 logo sec ⁡ x é positiva nesse intervalo.

A função cos ⁡ x negativa no intervalo π < x < 3 π 2 logo sec ⁡ x é negativa nesse intervalo.

Vamos discutir sobre a tangente.

A função tg ⁡ x é positiva no intervalo 0 < x < π 2 e no intervalo π < x < 3 π 2 .

Então a multiplicação da função tangente pela função secante que no caso é a derivada que queremos avaliar resulta que a G ' ( x ) é positiva em 0 < x < π 2 e negativa em π < x < 3 π 2 .

Logo a função G ( x ) é crescente em 0 < x < π 2 e decrescente em π < x < 3 π 2 .

Assim, a função G ( x ) não assume mesmos valores na imagem com mesmo elemento do domínio, logo ela é biunívoca.

Passo 5

Agora vamos ver como ficaria o gráfico dessa função.

Através do gráfico também é possível ver o que constatamos no passo 4.

Resposta

A função G ( x ) é biunívoca.

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