Enunciado

Nos Exercícios de 11 a 28, ache ( f^(- 1) ) ' ( d )

24. f (x) = x^2 - 6 x + 7 , x <= 3 ; d = 0

Passo 1

Para achar ( f^(- 1) ) ' ( d ) da função dada podemos fazer uso do teorema 7.2.4 do capítulo 7, seção 2 do livro que diz:

Seja f uma função monótona e continua no intervalo fechado [a, b], contendo o número c e seja f (c) = d . Se f ' ( c ) existir e f ' ( c ) != 0 , então ( f^(- 1) ) ' ( d ) existirá e

(f^(- 1))^' (d) = (1)/(f^' (c))

Passo 2

Agora vamos as contas, temos que saber quem é o c em nossa situação, mas para isso temos:

f (c) = d

=> c^2 - 6 c + 7 = 0

=> c = (6 +- sqrt(6^2 - 4 * 1 * 7))/(2 * 1)

=> c = (6 +- sqrt(36 - 28))/(2)

=> c = (6 +- sqrt(8))/(2)

=> c = 3 + sqrt(2) o u c = 3 - sqrt(2)

Mas como x <= 3 , temos que:

c = 3 - sqrt(2)

Passo 3

Agora vamos calcular f ' ( c ) , com o que obtemos no passo 2 e depois aplicar a fórmula do teorema.

f (x) = x^2 - 6 x + 7

f^' (x) = 2 x - 6

Assim:

f^' (3 - sqrt(2)) = 2 ( 3 - sqrt(2) ) - 6

= 6 - 2 sqrt(2) - 6

= - 2 sqrt(2)

Agora usando na fórmula do teorema:

(f^(- 1))^' (d) = (1)/(f^' (c))

Onde f^(- 1) (d) = sqrt(d + 2) + 9

Temos:

(f^(- 1))^' (0) = (1)/(2 ( 3 - sqrt(2) ) - 6)

= - (1)/(2 sqrt(2))

= - (sqrt(2))/(4)

Resposta

(f^(- 1))^' (0) = - (sqrt(2))/(4)

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