Enunciado

Nos Exercícios de 1 a 18, determine se a função é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.

12. F x = c o t g x 2 ,   0 < x < 2 π

Passo 1

Primeiro vamos entender o que é uma função biunívoca (ou injetora). Uma função dessa forma tem a característica de que cada componente do seu domínio só tem um correspondente em sua imagem. O diagrama a seguir demonstra essa característica.

Onde A é o domínio da função e B é a imagem dessa função, pode – se reparar que cada membro do domínio corresponde a um único membro da imagem.

Passo 2

Agora vamos avaliar a função que nos foi dada.

F x = c o t g x 2 ,   0 < x < 2 π

Para fazer isso, vamos usar o teorema 7.1.2 do capítulo 7, seção 2, que diz que se uma função for crescente ou decrescente em todo seu domínio ou intervalo, ela é biunívoca.

Para saber se a função é crescente ou decrescente vamos derivar a função e ver se ela é negativa no seu domínio ou positiva.

Passo 3

Vamos derivar a função.

F x = c o t g x 2

F ' x = - 1 2 c o s s e c x 2

Agora, sabemos que:

c o s s e c x 2 = 1 s e n x 2

E a função s e n x 2 é positiva no intervalo 0 < x < 2 π logo c o s s e c x 2 é positiva nesse intervalo, então:

- 1 2 c o s s e c x 2 < 0 ,     0 < x < 2 π

Então a função é decrescente no intervalo dado no enunciado já que sua derivada é negativa, logo ela é biunívoca.

Passo 4

Agora vamos ver como ficaria o gráfico dessa função.

Através do gráfico também é possível ver o que constatamos no passo 3.

Resposta

A função F ( x ) é biunívoca.

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