Enunciado

Nos exercícios 21 a 45, escrever uma representação paramétrica para a superfície dada.

40 ) Cone gerado pela semi reta y = 3 x ,   x ≥ 0 , quando esta gira em torno do eixo positivo dos y.

Passo 1

Então galera, desenhando nossa reta:

O ângulo entre a reta geratriz e o eixo y é α , então do um ponto P qualquer sobre a reta:

x = O P - . s e n   ( α )

y = O P - . c o s   ( α )

Como:

y = 3 x

O P - . c o s   ( α ) = 3 × ( O P - . s e n   ( α ) )

t g   α = 1 3 →   α = π 6

Passo 2

Como o cone gira ao redor de y, teremos algo parecido com:

Do triângulo retângulo P O P 2 : y = v . cos  ⁡ ( α ) e O P o - = v . s e n   α .

Do triângulo retângulo P o O P 1 : x = v . s en   ⁡ ( α ) . sen  ⁡ ( u ) e z = v . sen  ⁡ ( α ) . co s  ⁡ ( u ) .

Agora que sabemos a parametrização do cone, basta substituir:

x =   1 2 v . sen ⁡ u

y = 3 2 v

z = 1 2 v cos  ⁡ ( u )

No cone, 0 ≤ u ≤ 2 π e v é limitado somente pelo zero, 0 ≤ v < + ∞ .

Logo,

r → u , v = 1 2 v . sen ⁡ u i ^ + 3 2 v j ^ + 1 2 v cos  ⁡ ( u ) k ^

E encontramos nossa equação parametrizada!!

Resposta

r → u , v = 1 2 v . sen ⁡ u i ^ + 3 2 v j ^ + 1 2 v cos  ⁡ ( u ) k ^

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre as equações paramétricas da superfície obtida pela rotação da curva y = 1 1 + x 2 , - 2 ≤ x ≤ 2 ao redor do eixo x e use-as para traçar o gráfico da superfície.
Encontre a área da superfície.Parte da superfície z = 4 - 2 x 2 + y que está acima do triângulo com vértices 0,0 ,( 1,0 ) e ( 1,1 ) .
Identifique a superfície com equação vetorial dada. r u , v = 1 + 2 u i + - u + 3 v j + 2 + 4 u + 5 v k
Identifique a superfície com equação vetorial dada. r u , v = u cos ⁡ v i + u sen ⁡ v j + u 2 k
Use um computador para traçar o gráfico da superfície paramétrica. Imprima o resultado e indique sobre ele quais são as curvas de grade que têm u constante e quais têm v costante. r u , v = cos 3 ⁡ u