Enunciado

Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

27-

y = c o s s e c - 1 x 2 + 1 .   x > 0

Passo 1

Podemos escrever a função acima da seguinte forma:

c o s s e c y = x 2 + 1

Pois y é o ângulo cujo a cossecante é x 2 + 1 , logo se fizermos a cossecante de y é x 2 + 1 .

Passo 2

Agora se fizermos a derivada em relação a x nos dois lados da função acima nós obteremos:

d d x c o s s e c y = 2 x

Porém precisamos fazer a derivada da cossecante que pode ser obtida da seguinte forma:

d d y c o s s e c y = d d y 1 sin ⁡ y = 1 ' ( sin ⁡ y ) - 1 ( sin ⁡ y ) ' sin 2 ⁡ y = - cos ⁡ y sin 2 ⁡ y

Logo:

d d y c o s s e c   y = - c o t g   y × c o s s e c   y

Aplicando então essa derivada sem esquecer da regra da cadeia temos:

- c o t g   y × c o s s e c   y × d y d x = 2 x

d y d x = - 2 x c o t g   y × c o s s e c   y

Passo 3

Dá função que encontramos nós temos o valor da cossecante em função de x precisamos agora da cotangente, para isso usaremos a relação fundamental.

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Dividindo a expressão acima por sin 2 ⁡ y temos:

1 + c o t g 2 y = c o s s e c 2 y

Isolando agora a cotangente temos:

c o t g   y = c o s s e c 2 y - 1

Substituindo agora o valor de cotangente e da cossecante temos:

d y d x = - 2 x ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 2 - 1

d y d x = - 2 x ( x 2 + 1 ) x 4 + 2 x 2

Resposta

d y d x = - 2 x ( x 2 + 1 ) x 4 + 2 x 2

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