Enunciado

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.

24 - y = x 3 ,   y = 8 ,   y = 0

B – A reta x = 3.

Passo 1

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ c d 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d x

Como o exercício solicitou em torno do eixo y, deveremos descobrir o valor dos limites:

y = x 3 ,   p a r a   x = 0 ⇒ y = 0 3 = 0 ; y = x 3 ,   p a r a   y = 8 ⇒ 8 = x 3 = 2

Alterando a função: y =   8 - x 3

Assim os limites de integração serão: c = 0   e   d = 2

Observe que agora o raio será 3 - x

V =   2 π ∫ 0 2 ( 3 - x ) ( 8 - x 3 ) d x = 2 π ∫ 0 2 24 - 3 x 3 - 8 x + x 4 d x =

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π 24 x - 3 x 4 4 - 8 x 2 2 + x 5 5 0 2 = 2 π 24 x - 3 x 4 4 - 4 x 2 + x 5 5 0 2

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 24 ⋅ 2 - 3 2 4 4 - 4 ⋅ 2 2 + 2 5 5 - 24 ⋅ 0 - 3 ⋅ 0 4 4 - 4 ⋅ 0 2 + 0 5 5

V = 2 π 48 - 48 4 - 16 + 32 5 - 0 = 2 π 48 - 12 - 16 + 32 5 = 2 π 20 + 32 5

V = 2 π 132 5 = 264 π 5 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

Assim o volume será: V = 264 π 5 u . v .

.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados. 28 – C – Para a reta y = 5 .
Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados. 27 – B – A reta y = 1.
Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados. 28 – D – Para a reta y = - 5 8 .
Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados. 27 – A – O eixo x.
Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.26 - y = x 4ey = 4 - 3 x 2 A