Enunciado

Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

30-

y = s e n - 1 3 t 2

Passo 1

A equação acima pode ser escrita da seguinte forma:

s e n y = 3 t 2

Passo 2

Agora fazendo a derivada em relação a t d d t nos dois lados da equação nos dá a seguinte expressão:

cos ⁡ y × d y d t = d d t 3 t 2

Fazendo a derivada da função inversa 3 t 2 :

d d t 3 t - 2 = - 6 t - 3

Já aproveitando e passando o cos ⁡ y   pro outro lado:

d y d y = - 6 t 3 cos ⁡ y

Passo 3

Como temos o valor do s e n   y e a equação tem o cos ⁡ y vamos utilizar a equação fundamental da trigonometria para realizar essa troca:

cos 2 ⁡ y + s e n 2 y = 1

cos ⁡ y = 1 - s e n 2 y

Substituindo na equação temos:

d y d t = - 6 t 3 1 - s e n 2 y

Como s e n   y = 3 t 2

d y d t = - 6 t 3 1 - 9 t 4

d y d t = - 6 t 3 t 4 - 9 t 4

Tirando o denominador t 4 da raiz temos

d y d t = - 6 t 3 t 2 t 4 - 9

Resposta

d y d t = - 6 t t 4 - 9

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