Enunciado

Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

35-

y = c o s s e c - 1 e t

Passo 1

A equação acima pode ser escrita da seguinte forma:

c o s s e c   y = e t

Passo 2

Fazendo a derivada da equação acima em relação a t d d t nós teremos:

d d t c o s s e c   y = e t

d y d t × d d y c o s s e c   y = e t

Onde teremos que fazer a derivada da cossecante que é:

d d y c o s s e c y = d d y 1 sin ⁡ y = 1 ' ( sin ⁡ y ) - 1 ( sin ⁡ y ) ' sin 2 ⁡ y = - cos ⁡ y sin 2 ⁡ y

Logo:

d d y c o s s e c   y = - c o t g   y × c o s s e c   y

Substituindo teremos:

d y d t ×   - c o t g   y × c o s s e c   y = e t

d y d t = - e t c o t g   y × c o s s e c   y

Passo 3

Como sabemos o valor da cossecante que é:

c o s s e c   y = e t

E não temos o valor da cotangente nós precisamos substituir-la por algo que nós conhecemos. Pra isso usaremos a relação fundamental da trigonometria:

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Dividindo tudo pelo sin 2 ⁡ y teremos:

1 + c o t g 2   y = c o s s e c 2

O valor da cotangente então será:

c o t g   y = ± c o s s e c 2   y - 1

Como a cossecante é e t temos a seguinte substituição :

d y d t = - e t e t × ±   e 2 t - 1

Cortando e t   e tirando o módulo, já que não tem parcela que altere o sinal teremos:

d y d t = - 1 e 2 t - 1

Resposta

d y d t = - 1 e 2 t - 1

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