Enunciado

Nos Exercícios 21-42, determine a derivada de y em relação à variável apropriada.

40-

y = c o t g - 1 1 x - t g - 1 ( x )

Passo 1

Fazendo a derivada em relação a x       d d x dessa função teremos:

d y d x = d d x c o t g - 1   1 x - d d x ( t g - 1   x )

Passo 2

Fazendo a derivada em relação a x d d x das funções arco tangente e da arco cotangente de maneira geral são:

Para o arco tangente:

z = t g - 1 ( x )

t g   z = x

Fazendo a derivada em relação a x:

d z d x × sec 2 ⁡ x = 1

d z d x = 1 sec 2 ⁡ x

Como:

sec 2 ⁡ x = 1 + t g 2 x

Logo:

d d x t g - 1 x = 1 1 + x 2

Para o arco cotangente:

z = c o t g - 1 x

c o t g   z = x

Fazendo a derivada em relação a x:

d z d t ×   - c o s s e c 2   x = 1

d z d t = - 1 c o s s e c 2   x

Como:

1 + c o t g 2 x = c o s s e c 2 x

Substituindo:

d d x c o t g - 1 x = - 1 1 + x 2

Logo temos:

d d x t g - 1 x = 1 1 + x 2

d d x c o t g - 1 x = - 1 1 + x 2

E a derivada da função interna 1 x     é :

- 1 x 2

Passo 3

Derivando e utilizando a regra da cadeia e aplicando os parâmetros corretos nas funções temos:

d y d x = - 1 1 + 1 x 2 × - 1 x 2 - 1 1 + x 2

d y d x = - 1 x 2 + 1 x 2 × - 1 x 2 - 1 1 + x 2 = 1 x 2 + 1 - 1 x 2 + 1 = 0

Resposta

d y d x = 0

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