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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 2.1 - Ex. 4

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Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

4) lim x → 2 ⁡ ( 3 x - 1 ) = 5 ,     ϵ = 0,1

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = 3 x - 1

a = 2

L = 5

Sendo assim:

0 < x - 2 < δ

f x - 5 < 0,1

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x - 5 | = 0,1

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 - 5 = - 0,1

f x 2 - 5 = 0,1

Resolvendo:

f x 1 = 4,9

f x 2 = 5,1

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = 3 x 1 - 1 = 4,9

x 1 = 1,967

f x 2 = 3 x 2 - 1 = 5,1

x 2 = 2,033

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x - 2 = δ

Para x 1 :

1,967 - 2 = 0,033

Para x 2 :

2,033 - 2 = 0,033

Então:

δ = 0,033

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x - 5 < 0,1

E sabendo que:

f x = 3 x - 1

Podemos substituir:

3 x - 1 - 5 < 0,1

3 x - 6 < 0,1

3 x - 2 < 0,1

x - 2 < 1 30

Podemos comparar esta desigualdade obtida com a fornecida pelo problema para δ :

x - 2 < δ

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 1 30 .

Resposta

  1. δ = 0,03 3
  2. δ = 1 30

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