Enunciado

Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.

34) lim x → 3 ⁡ x ² - 9 x - 3 = 6

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 . Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = x ² - 9 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 3 ) x - 3 = x + 3

a = 3

L = 6

Sendo assim:

0 < x - 3 < δ

f x - 6 < ϵ

Para encontrar um δ > 0 o primeiro passo é substituir f x na desigualdade:

Passo 2

Substituindo f x :

x + 3 - 6 < ϵ

x - 3 < ϵ

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x - 3 < δ

Substituindo em:

x - 3 < ϵ

δ < ϵ

Isso significa que devemos impor sobre δ uma restrição, δ ≤ ϵ .

Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ ≤ ϵ , para todo   ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < x - 3 < δ

então

f x - 3 < ϵ

Isso prova que

lim x → 3 ⁡ x ² - 9 x - 3 = 6

Resposta

δ ≤ ϵ

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