Enunciado

Nos Exercícios de 23 a 32 , prove que a função é descontínua no número a . Então determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefinda f ( a )   de tal forma que seja removida

32 ) f x = x + 1 3 - 1 x ,   a = 0

Passo 1

Beleza, pra começar vamos falar algo importante sobre funções contínuas, ok? Toooodas elas tem isso como verdade:

lim x → a ⁡ f x = f a

Vamos começar pelo limite? Fazendo:

lim x → 0 ⁡ x + 1 3 - 1 x = 0 0

Como essa é uma indeterminação típica de L’Hospital, podemos derivar em cima e em baixo e obter o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ x + 1 3 - 1 x = lim x → 0 ⁡ x + 1 1 3 - 1 ' x ' = lim x → 0 ⁡ 1 3 x + 1 - 2 3 x + 1 ' 1 = lim x → 0 ⁡ 1 3 x + 1 2 3

O que resulta em:

= lim x → 0 ⁡ 1 3 x + 1 2 3 = 1 3

Beleza, o limite existe! Se o limite existe basta definirmos f 0 = 1 3 pra que a função seja contínua! Afinal, se não definirmos, f 0 daria 0 0 , o que não existe, tranquilo?

Resposta

Descontinuidade removível. f 0 = 1 3

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