Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 , faça um esboço do gráfico da função; então, observando onde há quebras no gráfico, determine os valores da variável independente nos quais a função é descontínua e mostre por que a Definição 2.6 . 1 não é satisfeita em cada descontinuidade

11 )   G x = x 2 - 4 x 4 - 16

Passo 1

A primeira coisa que vamos notar aqui é que essa função pode ser reescrita se usarmos produtos notáveis. Afinal, temos diferença de quadrados em cima e em baixo. Se:

x 4 - 16 = x 2 2 - 4 2

Então podemos escrever:

x 4 - 16 = x 2 - 4 x 2 + 4

E ai a função fica:

G x = x 2 - 4 x 2 - 4 x 2 + 4

Passo 2

Agora nota o seguinte. Pra função ser contínua pra qualquer a escolhido deve ser satisfeito:

lim x → a ⁡ G x = G a

Como x = a = ± 2 zeram o denominador de F x , esses são bons pontos pra gente testar:

lim x → ± 2 ⁡ x 2 - 4 x 2 - 4 x 2 + 4 = lim x → ± 2 ⁡ 1 x 2 + 4 = 1 8

Mas apesar do limite existir, nem G - 2 nem G 2 estão definidos. Essa função então não vai ser contínua em x = 2 e x = - 2

Passo 3

Pra ajudar a gente a esboçar podemos cortar em cima e em baixo o que está em comum:

G x = x 2 - 4 x 2 - 4 x 2 + 4 = 1 x 2 + 4

Note que 1 x 2 + 4 nunca “dá problema” porque o denominador não tem como zerar. Então se percebermos que G 0 = 1 4 e que:

lim x → ± ∞ ⁡ 1 x 2 + 4 = 0

Esboçar esse carinha fica tranquilo:

Mas claro, não é só isso. Temos que tirar os pontos que não estão definidos:

Resposta

Não definido em x = - 2 e x = 2

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9-14 Determine onde f é contínua.9- f x = a r c s e n 2 x
9-14 Determine onde f é contínua.11- f x = ln ⁡ a r c t g x x 2 - 9
43-46 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.43- Suponha que uma função f satisfaça f x + 5 ≤x + 1 Com qualquer número real x . Então lim x → - 1 ⁡ f ( x ) = - 5 .
41-42 (a) Complete a tabela e dê uma estimativa para o limite indicado. (b) Encontre o valor exato do limite.41- f x = s e n x - 5 x 2 - 25 ; lim x → 5 ⁡ f ( x )
49- Encontre um valor diferente de zero para a constante k que torne f ( x ) t g k x x ,x0 3 x + 2 k 2 , x ≥ 0 Contínua em x = 0 .