Enunciado

Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.

27) lim x → - 1 ⁡ 5 x + 8 = 3

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 . Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = 5 x + 8

a = - 1

L = 3

Sendo assim:

0 < x + 1 < δ

f x - 3 < ϵ

Para encontrar um δ > 0 o primeiro passo é substituir f x na desigualdade:

Passo 2

Substituindo f x :

5 x + 8 - 3 < ϵ

5 x + 5 < ϵ

5 ( x + 1 ) < ϵ

5 x + 1 < ϵ

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x + 1 < δ

Substituindo :

5 x + 1 < ϵ

5 δ < ϵ

δ < ϵ 5

Isso significa que ϵ 5 é um valor satisfatório para δ . Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ = ϵ 5 , para todo   ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < x + 1 < δ

então

f x - 3 < ϵ

Isso prova que

lim x → - 1 ⁡ 5 x + 8 = 3

Resposta

δ = ϵ 5

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