Enunciado

Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.

30) lim x → - 4 ⁡ 2 x + 7 = - 1

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 . Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = 2 x + 7

a = - 4

L = - 1

Sendo assim:

0 < x + 4 < δ

f x + 1 < ϵ

Para encontrar um δ > 0 o primeiro passo é substituir f x na desigualdade:

Passo 2

Substituindo f x :

2 x + 7 + 1 < ϵ

2 x + 8 < ϵ

2 ( x + 4 ) < ϵ

2 x + 4 < ϵ

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x + 4 < δ

Substituindo :

2 x + 4 < ϵ

2 δ < ϵ

δ < ϵ 2

Isso significa que ϵ 2 é um valor satisfatório para δ . Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ = ϵ 2 , para todo   ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < x + 4 < δ

então

f x + 1 < ϵ

Isso prova que

lim x → - 4 ⁡ 2 x + 7 = - 1

Resposta

δ = ϵ 2

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Use a Definição 5.4.3 tomando como a extremidade direita de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f ( x ) acima do intervalo especificado. f x = 1 - x 3 ; - 3 , - 1
Divida o intervalo em n = 4 subintervalos de igual tamanho, e netão calcule ∑ k = 1 4 f x k *∇ x Tomando x k * com (a) extremidade esquerda de cada subintervalo, (b) o ponto médio de cada subintervalo
Considere a soma ∑ k = 1 4 k + 1 3 - k 3 = 5 3 - 4 3 + 4 3 - 3 3 + 3 3 - 2 3 + 2 3 - 1 3 = 5 3 - 1 3 = 124 Para simplificar, listamos as parcelas em ordem invertida. Observe como o cancelamento possib
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