Enunciado

Nos exercícios de 1 a 22 são dados f x ,   a   e   L , bem como lim x → a ⁡ f ( x ) = L .

  1. Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um δ > 0 para o ϵ dado, tal que se 0 < x - a < δ então f x - L < ϵ ;
  2. Usando as propriedades das desigualdades, determine um δ > 0 , tal que a afirmativa ( a ) seja verdadeira para o valor dado de ϵ .

7) lim x → - 1 ⁡ ( 3 - 4 x ) = 7 ,     ϵ = 0,02

Passo 1

Na letra a do exercício nós queremos obter um valor de x - a , δ , positivo capaz de permitir que f x - L seja menor que ϵ , usando aqui somente os valores de f ( x ) e x . Na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.

Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = 3 - 4 x

a = - 1

L = 7

Sendo assim:

0 < x + 1 < δ

f x - 7 < 0,02

Agora podemos resolver as letras a e b.

Passo 2

Para resolver a letra a precisamos notar que queremos obter valores de f ( x ) que satisfaçam:

| f x - 7 | = 0,02

De acordo com as propriedades de módulo:

f x 1 - 7 = - 0,02

f x 2 - 7 = 0,02

Resolvendo:

f x 1 = 6,98

f x 2 = 7,02

Sendo assim, precisamos de x 1 e x 2 :

f x 1 = 3 - 4 x 1 = 6,98

x 1 = - 0,995

f x 2 = 3 - 4 x 2 = 7,02

x 2 = - 1,005

Para achar o δ , basta substituirmos os valores de x   na equação:

x + 1 = δ

Para x 1 :

- 0,995 + 1 = 0,005

Para x 2 :

- 1,005 + 1 = 0,005

Então:

δ = 0,005

O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.

Passo 3

Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos δ .

Primeiro, dada a desigualdade:

f x - 7 < 0,02

E sabendo que:

f x = 3 - 4 x

Podemos substituir:

3 - 4 x - 7 < 0,02

- 4 - 4 x < 0,02

4 - ( x + 1 ) < 0,02

- ( x + 1 ) < 0,005

Lembrando que o módulo de um número negativo é igual ao número positivo:

x + 1 < 0,005

Podemos comparar esta desigualdade obtida com a fornecida pelo problema para δ :

x + 1 < δ

Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para δ é 0,005 .

Resposta

  1. δ = 0,00 5
  2. δ = 0,00 5
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