Enunciado

Nos Exercícios 23-26, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões delimitadas pelas curvas dadas em torno das retas dadas.

26 - y = x 4   e   y = 4 - 3 x 2

A – A reta x   = 1 .

Passo 1

Primeiramente vamos plotar um gráfico para as funções do enunciado, assim obteremos:

Observe que os dois gráficos se interceptam nos limites - 1   e   1 , desta forma este será nosso limite de integração.

Para a reta x = 1, mudaremos o nosso raio que por vez será 1 - x , pois se inserirmos um cilindro sobre os pontos teríamos um raio x, como houve esse deslocamento para a reta x = 1 , representaremos 1 - x .

Agora para acharmos a altura iremos igualar as funções: x 4 = 4 - 3 x 2 ⇒ 4 - 3 x 2 - x 4

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ b a 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d x

Inserimos agora os valores na fórmula:

V =   2 π ∫ - 1 1 1 - x 4 - 3 x 2 - x 4 d x = 2 π ∫ - 1 1 4 - 3 x 2 - x 4 - 4 x + 3 x 3 + x 5   d x =

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 π 4 x - 3 x 3 3 - x 5 5 - 4 x 2 2 + 3 x 4 4 + x 6 6 - 1 1 = 2 π 4 x - x 3 - x 5 5 - 2 x 2 + 3 x 4 4 + x 6 6 - 1 1

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 π 4 ⋅ 1 - 1 3 - 1 5 5 - 2 ⋅ 1 2 + 3 ⋅ 1 4 4 + 1 6 6 - 4 ⋅ - 1 - - 1 3 - - 1 5 5 - 2 ⋅ - 1 2 + 3 - 1 4 4 + - 1 6 6

V = 2 π 4 - 1 - 1 5 - 2 + 3 4 + 1 6 - - 4 + 1 + 1 5 - 2 + 3 4 + 1 6  

V = 2 π 1 - 1 5 + 3 4 + 1 6 - - 5 + 1 5 + 3 4 + 1 6

V = 2 π 1 - 1 5 + 3 4 + 1 6 + 5 - 1 5 - 3 4 - 1 6

V = 2 π - 2 5 + 6 = 2 π 28 5 = 56 5 π u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

56 5 π   u . v .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido. ∫ 0 1 2 π ( 3 - y ) ( 1 - y 2 ) d y
Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido. ∫ 0 3 2 π x 5 d x