Enunciado

Nos Exercícios 23-28, use áreas para calcular as integrais.

28

f x = 3 x + 1 - x 2     ,         e m   a . - 1,0     e   b . [ - 1,1 ]

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral usando o valor da área em baixo da curva da função.

Passo 2

A função é dada por

f x = 3 x + 1 - x 2    

Isso vai dar o seguinte gráfico

Passo 3

Repare que podemos calcular da seguinte forma, f ( x ) é uma soma de duas funções, podemos analisar os gráficos separadamente.

O gráfico de 3 x é assim

E o gráfico de 1 - x 2     é isso

Passo 4

Bom temos um triângulo e um semicírculo, vamos calcular suas áreas

Para 3 x teremos

A = - b ⋅ h 2 = - 0 - - 1 * 0 - - 3 2 = - 3 2

E para 1 - x 2    

A = π R 2 4 = π 4

Repare que é somente um quarto da área total do círculo.

Basta somar agora

A = - 3 2 + π 4

Passo 5

Para respondermos o item b

A = - b ⋅ h 2 = - 0 - - 1 ⋅ 0 - - 3 2 + 1 - 0 ⋅ 3 - 0 2 = 0

E para 1 - x 2    

A = π R 2 2 = π 2

Agora é um semicírculo

Basta somar agora

A = π 2

Resposta

O resultado da integral é     - 3 2 + π 4 no item a, e π 2 no item b.

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