Enunciado

Nos exercícios de 11 a 31, calcular as integrais indefinidas.

11. ∫ x 2 x 2 + 1 d x

Passo 1

Queremos integrar a função f x =   x 2 x 2 + 1 , para isso podemos usar o método da substituição trigonométrico.

Passo 2

Pelo meto da substituição, temos que:

tan ⁡ θ = x 1

tan ⁡ θ = x

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Agora substituímos na integral.

∫ x 2 x 2 + 1 d x = ∫ tan 2 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 3

Sabemos das relações trigonométricas que tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ , assim podemos substituir no denominador.

∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Gora podemos simplificar:

∫ tan 2 ⁡ θ d θ

Não sabemos resolver a integral de tan 2 ⁡ θ mas podemos substitui pela relação citada acima.

∫ ( sec 2 ⁡ θ - 1 ) d θ

Sabemos que a integras da soma é assoma das integrais, então podemos dividir em duas integrais.

∫ ( sec 2 ⁡ θ ) d θ + ∫ ( - 1 ) d θ

Passo 4

Agora temos duas integrais que sabemos resolver.

∫ ( sec 2 ⁡ θ ) d θ = tan ⁡ θ

e

∫ ( - 1 ) d θ = - θ

Passo 5

Agora colocamos e função de x   novamente, temos da substituição que fizemos que:

tan ⁡ θ = x

Queremos saber também quem é θ usando a relação acima e função arco tangente dos dois lados temos:

θ = arctan ⁡ x

Passo 6

Temos então que:

∫ x 2 x 2 + 1 d x = x - arctan ⁡ x + c

Resposta

∫ x 2 x 2 + 1 d x = x - arctan ⁡ x + c

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4. Calcule d )∫ 0 π 2 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 xd x
7. Calcule b ) ∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ xd x
4. Calcule a )∫ 0 π 3 sin ⁡ 2 xd x
4. Calcule c )∫ 0 π 3 sin ⁡ 3 x + cos ⁡ 3 xd x
5. b) Calcule ∫ sin 2 ⁡ xd x