Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 7.6 - Ex. 19

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Nos exercícios de 1 a 24, ache a derivada da função dada.

19. g z = z c o s z ; z > 0

Passo 1

Nesta seção estamos trabalhado os conceitos de derivada logarítmica e derivação implícita, pois para resolver a maioria das questões estamos sujeito a funções exponenciais e utilizamos os conceitos de derivação implícita.

Na questão acima não temos muito o que retirar do enunciado, somente aplicar os conceitos de derivadas vistos até aqui, principalmente a regra da cadeia.

Passo 2

Sendo assim, podemos escrever a função acima da seguinte forma:

y = z c o s z

Passo 3

Aplicano ln em ambos os lados da equação obtida acima vem:

l n y = l n z c o s z

l n y = c o s z . l n z

Passo 4

Derivando a expressão acima:

1 y . y ´ = - s e n z . l n z + c o s z . 1 z

y ´ = z c o s z c o z z - s e n z   . l n z = z c o s z - 1 ( c o s z - z . s e n z . l n z )

Resposta

y ´ = z c o s z - 1 ( c o s z - z . s e n z . l n z )

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