Enunciado

Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.

23. ∫ 1 2 d x x x 2 - 1

Passo 1

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, devemos obter o seu valor primeiro para com o resultado em mãos afirmar se ela convergiu para algum número ou divergiu para o infinito.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Devemos também, as vezes , fazer algumas jogadinhas nas integrais para parecer com alguma integral que apresenta o seu resultado já pronto e assim poupar tempo nas resoluções.

Passo 2

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita em 1 e, sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

∫ 1 2 d x x x 2 - 1 = lim t → 1 + ⁡ ∫ t 2 d x x x 2 - 1 d x = l i m t → 1 + a r c s e c x t 2 = l i m t → 1 + arcsec ⁡ 2 - arcsec ⁡ t =

= π 3 - 0 = π 3

Logo, a integral dada é convergente.

Resposta

∫ 1 2 d x x x 2 - 1 = π 3

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