Enunciado

A velocidade média das moléculas em um gás ideal é

v ¯ = 4 π M 2 R T 3 / 2 ∫ 0 ∞ v 3 e - M v 2 2 R T   d v

em que M é o peso molar do gás; R , a constante do gás; T , a temperatura do gás; e v , a velocidade molecular. Mostre que

v ¯ = 8 R T π M

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar que:

v ¯ = 8 R T π M

Sabendo que:

v ¯ = 4 π M 2 R T 3 / 2 ∫ 0 ∞ v 3 e - M v 2 2 R T   d v

em que M é o peso molar do gás; R , a constante do gás; T , a temperatura do gás; e v , a velocidade molecular.

Perceba que a nossa única variável é v . Assim, basta tratarmos todas as outras como constantes.

Nesse sentido, teremos que resolver a integral.

Aqui a gente está trabalhando com uma integral imprópria (por conta daquele limite no infinito).

Assim, para prosseguirmos, devemos fazer o seguinte procedimento:

v ¯ = 4 π M 2 R T 3 / 2 ∫ 0 ∞ v 3 e - M v 2 2 R T   d v

= 4 π M 2 R T 3 / 2 lim t → ∞ ⁡     ∫ 0 t v 3 e - M v 2 2 R T   d v

Veja que retiramos a ‘impropriedade’ da integral utilizando o limite.

Para facilitar a nossa vida, vamos focar somente em lim t → ∞ ⁡     ∫ 0 t v 3 e - M v 2 2 R T   d v , já que 4 π M 2 R T 3 / 2 é uma constante.

Agora é resolver essa integral!! 😉

Passo 2

Bom... da nossa integral, temos:

lim t → ∞ ⁡     ∫ 0 t v 3 e - M v 2 2 R T   d v

Essa integral é calculada usando integração por partes com u = v 2 e d z = v e - M v 2 2 R T   d v .

Assim, d u = 2 v d v e z = - R T M e - M v 2 2 R T . Gostaria de lembrar mais uma vez que a nossa variável de integração é a v , as outras variáveis são consideradas constantes.

Portanto, aplicando a integral por partes, temos:

∫ u d z = u z - ∫ z d u

lim t → ∞ ⁡     ∫ 0 t v 3 e - M v 2 2 R T   d v

= - 2 R T M v 2 e - M v 2 2 R T 0 t + 2 R T M ∫ 0 t v   e - M v 2 / 2 R T   d v

Passo 3

Resolvendo aquela integral que nos restou, temos:

∫ 0 t v   e - M v 2 / 2 R T   d v

Fazendo a substituição:

w = - M v 2 2 R T

d w = - v M R T d v

d v = - R T v M d w  

Assim:

- R T M ∫ 0 t e w   d w

- R T M e w t 0

- R T M e - M v 2 2 R T t 0

Passo 4

Assim, substituindo na integral do Passo 2, temos:

lim t → ∞ ⁡     ∫ 0 t v 3 e - M v 2 2 R T   d v = - 2 R T M v 2 e - M v 2 2 R T 0 t + 2 R T M - R T M e - M v 2 2 R T 0 t

lim t → ∞ ⁡   ∫ 0 t v 3 e - M v 2 2 R T   d v

= - 2 R T M t 2 e - M t 2 2 R T - 2 R 2 T 2 M 2 ( e - M t 2 2 R T - 1 )

Passo 5

Sabemos que lim t → ∞ ⁡ e - k t = 0 se k > 0 . Além disso, usando L’Hospital:

lim t → ∞ ⁡ t 2 e - k t = lim t → ∞ ⁡ t 2 e k t

= lim t → ∞ ⁡ 2 t k e k t

= lim t → ∞ ⁡ 2 k 2 e k t = 0

Portanto,

∫ 0 ∞ v 3 e - M v 2 2 R T   d v = 2 R 2 T 2 M 2

Assim,

v ¯ = 4 π M 2 R T 3 / 2 8 R 2 T 2 M 2 = 16 M 3 ⋅ 4 R 4 T 4 π ⋅ 8 R 3 T 3 M 4 = 8 R T π M

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Demonstração.

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